PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de estructuras algebraicas

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Ejercicios de estructuras algebraicas

Sea f un homomorfismo de un anillo en si mismo, y sea S el conjunto de todos los elementos de A que quedan invariantes por f. Demostrar que S es un subanillo de A.

Respuesta al ejercicio 17

El subconjunto S será de la forma:
    \( S = \{a \in A \quad | \quad f(a) = a \} \)
Para que un subconjunto de A sea subanillo de (A, +, •) debe cumplir:
    \( \forall x, y \in S \quad (x-y) \in S \; \wedge \; xy \in S \)
Por ser f un homomorfismo, podemos hacer:
    \( f(x-y) = f(x)-f(y) = x-y \quad \Rightarrow \quad (x-y) \in S \)
Por quedar invariante por f.
De igual modo, tenemos:
    \( f(xy) = f(x)f(y) = xy \quad \Rightarrow \quad (xy) \in S \)
Al cumplirse las dos propiedades requeridas, podemos decir que (S, +, •) es un subanillo de (A, +, •)
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tema escrito por: José Antonio Hervás