Ejercicios de estructuras algebraicas - Respuesta 17

El subconjunto S será de la forma:

\( S = \{a \in A \quad | \quad f(a) = a \} \)

Para que un subconjunto de A sea subanillo de (A, +, •) debe cumplir:

\( \forall x, y \in S \quad (x-y) \in S \; \wedge \; x·y \in S \)

Por ser f un homomorfismo, podemos hacer:

\( f(x-y) = f(x)-f(y) = x-y \quad \Rightarrow \quad (x-y) \in S \)

Por quedar invariante por f.
De igual modo, tenemos:

\( f(x·y) = f(x)·f(y) = x·y \quad \Rightarrow \quad (x·y) \in S \)

Al cumplirse las dos propiedades requeridas, podemos decir que (S, +, •) es un subanillo de (A, +, •)