PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de estructuras algebraicas

Ver enunciado del ejercicio en:

Ejercicios resueltos de Estructuras algebraicas

Estás en : Matemáticas y Poesía > Problemas y ejercicios resueltos

 

Ejercicios de estructuras algebraicas

Respuesta al ejercicio 16

Se dice que un subanillo de un anillo A es un ideal si cumple:
    \(\forall x, y \in I \; : ; (x-y) \in I \quad ; \quad \forall x \in I \wedge \forall a \in A \Rightarrow x·a \in I \wedge a·x \in I \)
Podemos hacer entonces:
    \(x,y \in I \quad \Rightarrow \left\{\begin{array}{c}
    x = b_1+c_1 \\
    \\
    y = b_2+c_2
    \end{array}\right\} \quad (x-y) = (b_1+c_1) - (b_2+c_2)
    \)
Pero, por ser la primera de las leyes de un anillo conmutativa:
    \( (b_1+c_1) - (b_2+c_2) = (b_1-b_2)+(c_1-c_2) \in I \Rightarrow (x-y) \in I \)
Puesto que \((b_1 - b_2) \in B \textrm{ y } (c_1 - c_2) \in C \).
Por otro lado tenemos:
    \( x \in I \quad \Rightarrow \quad x = b+e \quad \Rightarrow \quad ax = a(b+c) \)
Por ser distributiva la segunda ley:
    \( a(b+c) = (ab + ac) \in I \quad (ab \in B \; \wedge \; ac \in C) \; \Rightarrow \; ax \in I \)
De igual modo se demuestra que \(xa \in I \) y, por consiguiente que I es un ideal.
Ejercicios resueltos - problemas resueltos - ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS


tema escrito por: José Antonio Hervás