Ejercicios de estructuras algebraicas - Respuesta 15

El que un elemento de un anillo NO sea un divisor de cero por la izquierda (respectivamente por la derecha) implica:

\( a·x \neq 0 \; \forall x \neq 0 \quad (resp \; x·a \neq 0 \; \forall x \neq 0) \)

Definimos una aplicación llamada traslación a izquierda (respectivamente derecha) de un elemento a, en la forma:

\( T_a : A \Rightarrow A \quad \div \quad x \Rightarrow a·x \quad (resp \; x \Rightarrow x·a) \)

Vamos a ver que la aplicación T_a es biyectiva.
T_a inyectiva.-

\( T_a(x) = T_a(y) \Rightarrow a·x = a·y \Rightarrow a·x-a·y = 0 \Rightarrow a(x-y) = 0 \)

Como a no es divisor de cero, se tendrá:

\( (x-y) = 0 \Rightarrow x = y \Rightarrow T_a \; \) la aplicación es inyectiva a izquierda

Análogamente se demuestra que la aplicación T_a es inyectiva a la derecha.
T_a sobreyectiva. Se ha de cumplir:

\( \forall y \in A \quad \exists \; x \in A \quad | \quad T_a(x) = y \)

Pero como A es finito, podemos poner:

\( Card (Im T_a) = Card(A) \Rightarrow Im \; T_a = A \)

Al ser la aplicación inyectiva y sobreyectiva, será biyectiva. En esas condiciones se tendrá:

\( \exists \; e_1 \in A \quad | \quad T_a(e_1) = a \textrm{ por ser } a \in A \Rightarrow e_1·a = a \)

Pero este elemento e1 deja invariante a cualquier elemento x de A, pues se tiene:

\( T_a(x) = a·x = (a·e_1)x = a(e_1·x) = T_a(e_1·x) \Rightarrow x = e_1·x \; , \; \forall x \in A \)

Por ser T_a inyectiva.
Por la derecha se desarrollan los cálculos de igual forma para obtener e₂
Tenemos entonces que e₁ es el simétrico por la izquierda y e₂ es el simétrico por la derecha. Vamos a ver que se tiene e₁ = e₂:

\( e_1·e_2 = \left\{\begin{array}{c}
\textrm{operando a izquierda} = e_2 \\
\\
\textrm{Operando a derecha} = e_1
\end{array}\right\} \; \Rightarrow e_1 = e_2 \)