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ejercicios resueltos de estructuras algebraicas

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Ejercicios de estructuras algebraicas

Demostrar que todo anillo con un número finito de elementos, en el que existe un elemento a que no es divisor de cero a la izquierda y un elemento b que no es divisor de cero a la derecha, tiene elemento unidad.

Respuesta al ejercicio 15
El que un elemento de un anillo NO sea un divisor de cero por la izquierda (respectivamente por la derecha) implica:
    \( a·x \neq 0 \; \forall x \neq 0 \quad (resp \; x·a \neq 0 \; \forall x \neq 0) \)
Definimos una aplicación llamada traslación a izquierda (respectivamente derecha) de un elemento a, en la forma:
    \( T_a : A \Rightarrow A \quad \div \quad x \Rightarrow a·x \quad (resp \; x \Rightarrow x·a) \)
Vamos a ver que la aplicación Ta es biyectiva.
Ta inyectiva.-
    \( T_a(x) = T_a(y) \Rightarrow a·x = a·y \Rightarrow a·x-a·y = 0 \Rightarrow a(x-y) = 0 \)
Como a no es divisor de cero, se tendrá:
    \( (x-y) = 0 \Rightarrow x = y \Rightarrow T_a \; \) la aplicación es inyectiva a izquierda
Análogamente se demuestra que la aplicación Ta es inyectiva a la derecha.
Ta sobreyectiva. Se ha de cumplir:
    \( \forall y \in A \quad \exists \; x \in A \quad | \quad T_a(x) = y \)
Pero como A es finito, podemos poner:
    \( Card (Im T_a) = Card(A) \Rightarrow Im \; T_a = A \)
Al ser la aplicación inyectiva y sobreyectiva, será biyectiva. En esas condiciones se tendrá:
    \( \exists \; e_1 \in A \quad | \quad T_a(e_1) = a \textrm{ por ser } a \in A \Rightarrow e_1a = a \)
Pero este elemento e1 deja invariante a cualquier elemento x de A, pues se tiene:
    \(\begin{array}{l} T_a(x) = ax = (ae_1)x = a(e_1x) = T_a(e_1x) \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow x = e_1x \; , \; \forall x \in A \end{array} \)
Por ser Ta inyectiva.
Por la derecha se desarrollan los cálculos de igual forma para obtener e2
Tenemos entonces que e1 es el simétrico por la izquierda y e2 es el simétrico por la derecha. Vamos a ver que se tiene e1 = e2:
    \( e_1·e_2 = \left\{\begin{array}{c}
    \textrm{operando a izquierda} = e_2 \\
    \\
    \textrm{Operando a derecha} = e_1
    \end{array}\right\} \; \Rightarrow e_1 = e_2 \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás