Demostrar que todo anillo con un número finito de elementos, en el que existe un elemento a que no es divisor de cero a la izquierda y un elemento b que no es divisor de cero a la derecha, tiene elemento unidad.

Respuesta 15

El que un elemento de un anillo NO sea un divisor de cero por la izquierda (respectivamente por la derecha) implica:



Definimos una aplicación llamada traslación a izquierda (respectivamente derecha) de un elemento a, en la forma:



Vamos a ver que la aplicación T_a es biyectiva.
T_a inyectiva.-



Como a no es divisor de cero, se tendrá:



Análogamente se demuestra que T_a es inyectiva a la derecha.
T_a sobreyectiva. Se ha de cumplir:



Pero como A es finito, podemos poner:



Al ser la aplicación inyectiva y sobreyectiva, será biyectiva. En esas condiciones se tendrá:



Pero este elemento e1 deja invariante a cualquier elemento x de A, pues se tiene:



Por ser T_a inyectiva.
Por la derecha se desarrollan los cálculos de igual forma para obtener e₂
Tenemos entonces que e₁ es el simétrico por la izquierda y e₂ es el simétrico por la derecha. Vamos a ver que se tiene e₁ = e₂: