PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de estructuras algebraicas

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Ejercicios resueltos de Estructuras algebraicas

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Ejercicios de estructuras algebraicas

Respuesta al ejercicio 14
El conjunto dado será de la forma:
    \( S = \{x \in A \quad | \quad xa = ax \; (a \in A)\} \)
Para que un subconjunto de A sea subanillo debe cumplir:
    \(\forall x, y \in S \Rightarrow \; \left\{\begin{array}{l} 1) \; x-y \in S \\ \\ 2) \; xy \in S \end{array}\right. \)
Demostramos el apartado 1º) Vamos a considerar el elemento (x - y) de A. Tenemos:
    \( (x-y)a = xa - ya = ax - ay = a(x-y)\)
Puesto que el elemento (x – y) permuta con a, podemos decir que (x – y) pertenece al conjunto S.
Demostramos el apartado 2º) Consideramos el elemento x•y de A. Tenemos:
    \( (xy)a = x(ya) = x(ay) = (xa)y = (ax)y = a(xy)\)
Puesto que el elemento (x•y) permuta con a, podemos decir que (x•y) pertenece al conjunto S.
Según todo lo visto, podemos decir que el conjunto S es un subanillo de (A, +, •)
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tema escrito por: José Antonio Hervás