Ejercicios de estructuras algebraicas

Demostrar que el conjunto de los elementos de un anillo A que permutan con un elemento a de dicho anillo es un subanillo de A.

Respuesta al ejercicio 14

El conjunto dado será de la forma:

\( S = \{x \in A \quad | \quad x·a = a·x \; (a \in A)\} \)

Para que un subconjunto de A sea subanillo debe cumplir:

\(\forall x, y \in S \Rightarrow \; \left\{\begin{array}{l} 1º) \; x-y \in S \\ \\ 2º) \; x·y \in S \end{array}\right. \)

Demostramos el apartado 1º) Vamos a considerar el elemento (x - y) de A. Tenemos:

\( (x-y)·a = x·a - y·a = a·x - a·y = a·(x-y)\)

Puesto que el elemento (x – y) permuta con a, podemos decir que (x – y) pertenece al conjunto S.
Demostramos el apartado 2º) Consideramos el elemento x•y de A. Tenemos:

\( (x·y)·a = x·(y·a) = x·(a·y) = (x·a)·y = (a·x)·y = a·(x·y)\)

Puesto que el elemento (x•y) permuta con a, podemos decir que (x•y) pertenece al conjunto S.
Según todo lo visto, podemos decir que el conjunto S es un subanillo de (A, +, •)