Demostrar que el conjunto de los elementos de un anillo A que permutan con un elemento a de dicho anillo es un subanillo de A.

Respuesta 14

El conjunto dado será de la forma:



Para que un subconjunto de A sea subanillo debe cumplir:



Demostramos el apartado 1º) Vamos a considerar el elemento (x - y) de A. Tenemos:

(x – y).a = x•a – y•a = a•x – a•y = a•(x – y)

Puesto que el elemento (x – y) permuta con a, podemos decir que (x – y) pertenece al conjunto S.
Demostramos el apartado 2º) Consideramos el elemento x•y de A. Tenemos:

(x•y)•a = x•(y•a) = x•(a•y) = (x•a)•y = (a•x)•y = a•(x•y)

Puesto que el elemento (x•y) permuta con a, podemos decir que (x•y) pertenece al conjunto S.
Según todo lo visto, podemos decir que el conjunto S es un subanillo de (A, +, •)