Ejercicios de estructuras algebraicas - Respuesta 13

La condición necesaria y suficiente para que un subconjunto P de Z sea subanillo de (Z, +, *) es que sea subgrupo para la suma y estable para el producto. Sabemos que (Z, +) es un grupo aveliano, por lo tanto, si (P, +) cumple:

\(\forall x, y \in P \quad \div \quad x + (-y) \in P \)

Será subgrupo aveliano de (Z, +).
Resolviendo tenemos:

\( \left.\begin{array}{c}
x \in P \Rightarrow x = 2n \quad (n \in Z) \\
\\
y \in P \Rightarrow y = 2m \quad (m \in Z)
\end{array}\right\} \quad x + (-y) = 2n+ (-2m) = 2(n-m) \in P \)

Y, por lo tanto, (P, +) tiene estructura de grupo aveliano.
La segunda de las leyes cumple las siguientes propiedades.
Ley interna en P:

\( \left.\begin{array}{c}
x \in P \Rightarrow x = 2n \quad (n \in Z) \\
\\
y \in P \Rightarrow y = 2m \quad (m \in Z)
\end{array}\right\} \quad x \ast y = (2n)\ast(2m) = \displaystyle \frac{2m·2n}{2} = 2mn \in P \)

Propiedad asociativa:

\((x\ast y)\ast z = \displaystyle \frac{ \displaystyle \frac{x·y}{2}·z}{2} = \frac{x·y·z}{4} \quad ; \quad x\ast (y\ast z) = x \ast\frac{y·z}{2} = \frac{x ·\displaystyle \frac{y·z}{2}}{2} = \frac{x·y·z}{4} \)

Propiedad conmutativa:

\( x \ast y = \displaystyle \frac{x·y}{2} = \frac{y·x}{2} = y\ast x \)

Distributividad respecto de la primera ley:

\( x\ast (y+z) = \displaystyle \frac{x·(y+z)}{2} = \frac{x·y + x·z}{2} = \frac{x·y}{2} + \frac{x·z}{2} = (x\ast y) + (x \ast z) \)

Según todo lo visto, podemos decir que (P, +, *) tiene estructura de anillo conmutativo.