PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de estructuras algebraicas

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Ejercicios de estructuras algebraicas

Respuesta al ejercicio 13
La condición necesaria y suficiente para que un subconjunto P de Z sea subanillo de (Z, +, *) es que sea subgrupo para la suma y estable para el producto. Sabemos que (Z, +) es un grupo aveliano, por lo tanto, si (P, +) cumple:
    \(\forall x, y \in P \quad \div \quad x + (-y) \in P \)
Será subgrupo aveliano de (Z, +).
Resolviendo tenemos:
    \( \begin{array}{l} \left.\begin{array}{c} x \in P \Rightarrow x = 2n \quad (n \in Z) \\ \\ y \in P \Rightarrow y = 2m \quad (m \in Z) \end{array}\right\} \quad x + (-y) = \\  \\ = 2n+ (-2m) = 2(n-m) \in P \end{array}\)
Y, por lo tanto, (P, +) tiene estructura de grupo aveliano.
La segunda de las leyes cumple las siguientes propiedades.
Ley interna en P:
    \(\begin{array}{l} \left.\begin{array}{c} x \in P \Rightarrow x = 2n \quad (n \in Z) \\ \\ y \in P \Rightarrow y = 2m \quad (m \in Z) \end{array}\right\} \quad x \ast y = \\  \\ = (2n)\ast(2m) = \displaystyle \frac{2m2n}{2} = 2mn \in P \end{array} \)
Propiedad asociativa:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} (x\ast y)\ast z = \frac{ \displaystyle \frac{xy}{2}z}{2} = \frac{xyz}{4} \\  \\ x\ast (y\ast z) = x \ast\frac{yz}{2} = \frac{x \displaystyle \frac{yz}{2}}{2} = \frac{xyz}{4} \end{array} \)
Propiedad conmutativa:
    \( x \ast y = \displaystyle \frac{x·y}{2} = \frac{y·x}{2} = y\ast x \)
Distributividad respecto de la primera ley:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} x\ast (y+z) = \frac{x(y+z)}{2} = \frac{xy + xz}{2} = \\  \\ = \frac{xy}{2} + \frac{xz}{2} = (x\ast y) + (x \ast z) \end{array} \)
Según todo lo visto, podemos decir que (P, +, *) tiene estructura de anillo conmutativo.
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tema escrito por: José Antonio Hervás