Ejercicios de estructuras algebraicas
Hallar para que valores de \( \lambda \) las operaciones dadas por:
\(a\oplus b = a+b-6 \quad ; \quad a \otimes b = a·b +
\lambda·a + \lambda·b + 42 \)
Inducen en Z una estructura de anillo.
Respuesta al ejercicio 12
Consideramos
que la primera de las operaciones debe dotar de estructura de
grupo aveliano al conjunto Z. Tenemos:
Propiedad asociativa
\(\begin{array}{l}
(a \oplus b) \oplus c = (a \oplus b) + c - 6 = \\
= [(a+b)-6]+c-6 = a+b+c - 12 \\
\\
a \oplus (b \oplus c) = a + (b \oplus c) - 6 = a + [(b+c)-6] = \\
= a+b+c - 12
\end{array}\)
Y se cumple la propiedad asociativa.
Existencia de elemento neutro:
\( a \oplus e = e \oplus a = a \rightarrow a+e-6 = a \rightarrow
e - 6 = 0 \rightarrow e = 6 \)
Por lo tanto, el elemento neutro es el 6.
Elementos simétricos:
\( a'\oplus a = e = 6 \rightarrow a' + a - 6 = 6 \rightarrow
a' + a = 12 \rightarrow a' = 12-a \)
Todos los elementos tienen simétrico por la izquierda y
es de la forma indicada. Si se verifica la propiedad conmutativa
no es necesario desarrollar las anteriores propiedades por la
derecha:
\( \left.\begin{array}{c}
a \oplus b = a+b-6 \\
\\
b \oplus a = b+a-6
\end{array}\right\} a+b-6 = b+a - 6 \rightarrow a\oplus b =
b \oplus a \)
Y, por lo tanto, al verificarse la propiedad conmutativa queda
demostrado que todos los elementos tienen simétrico.
Ley de simplificación:
\( \left.\begin{array}{c}
b \oplus a = b+a-6 \\
\\
c \oplus a = c+a-6
\end{array}\right\} b+a-6 = c+a - 6 \rightarrow b = c \)
Y puesto que se cumple la ley conmutativa, podemos decir que todos
los elementos son regulares a izquierda y derecha.
La estructura estudiada si es un grupo aveliano.
Queda por demostrar para que valores de λ induce la segunda ley
estructura de semigrupo en Z y ver después, en los casos
encontrados, si la ley es distributiva respecto a la primera.
En primer lugar, la ley es interna para todo λ perteneciente a
Z.
Propiedad asociativa:
\(\begin{array}{l} (a \otimes b) \otimes c = (aˇb + \lambdaˇa
+ \lambdaˇb + 42) \otimes c = \\ (aˇb + \lambdaˇa + \lambdaˇb
+ 42)c + \lambdaˇ(aˇb + \lambdaˇa + \lambdaˇb + 42) + \\ \lambdaˇc
+ 42 = aˇbˇc + \lambdaˇaˇc + \lambdaˇbˇc + 42ˇc + \lambdaˇaˇb
+ \\ \lambda^2ˇa + \lambda^2ˇb + 42ˇ\lambda + \lambdaˇc + 42
\end{array}\)
\(\begin{array}{l} a \otimes (b \otimes c) = aˇ(b \otimes c)
+ \lambdaˇa + \lambdaˇ(b \otimes c) + 42 = \\ a(bˇc + \lambdaˇb
+ \lambdaˇc + 42) + \lambdaˇa + \lambdaˇ(bˇc + \lambdaˇb + \lambdaˇc
+ 42) +\\+ 42 = aˇbˇc + \lambdaˇaˇb + \lambdaˇaˇc + 42a + \lambdaˇa
+ \lambdaˇbˇc + \\+\lambda^2ˇb + \lambda^2ˇc + 42ˇ\lambda +
42 \end{array}\)
Igualando las dos últimas expresiones y simplificando:
\(\begin{array}{l}
\lambda^2ˇa + \lambdaˇc + 42c = \lambda^2ˇc + \lambdaˇa + 42a \Rightarrow \\
\\
\Rightarrow \lambda^2 - \lambda - 42 = 0 \Rightarrow \lambda_1 = -6 \; ; \; \lambda_2 = 7
\end{array} \)
Por lo tanto, la ley es asociativa para los dos valores de λ
obtenidos.
Comprobar que la ley es conmutativa para cualquier valor de λ
es un ejercicio sencillo, por lo que haremos será ver si
esta segunda ley es distributiva respecto a la primera para los
valores de λ obtenidos.
Tenemos por un lado:
\(\begin{array}{l}
a \otimes (b \oplus c) = a \otimes (b+c-6) = \\
a(b+c-6) + \lambda a + \lambda (b+c-6) + 42 = \\
= ab + ac - 6a + \lambda a + \lambda b + \lambda c - 6\lambda + 42
\end{array}\)
Y por otro:
\(\begin{array}{l}
(a\otimes b) \oplus (a \otimes c) = (a \otimes b) + (a \otimes c) - 6 = \\
(ab + \lambda a + \lambda b + 42) +(ac + \lambda a + \lambda c + 42) - 6 = \\
ab + \lambda a + \lambda b + ac + \lambda a + \lambda c + 78
\end{array}\)
Sustituyendo λ por -6 (o por 7) en ambos resultados, obtenemos
que en el primer caso la segunda ley es distributiva respecto
a la primera y en el segundo caso no lo es.
Resumiendo, podemos decir que (Z, ⊕ , ⊗) es un anillo
conmutativo para las leyes definidas en el enunciado, si y solo
si λ = -6.