Ejercicios de estructuras algebraicas - Respuesta 12

Consideramos que la primera de las operaciones debe dotar de estructura de grupo aveliano al conjunto Z. Tenemos:
Propiedad asociativa

\((a \oplus b) \oplus c = (a \oplus b) + c - 6 = [(a+b)-6]+c-6 = a+b+c - 12 \)

\(a \oplus (b \oplus c) = a + (b \oplus c) - 6 = a + [(b+c)-6] = a+b+c - 12 \)

Y se cumple la propiedad asociativa.
Existencia de elemento neutro:

\( a \oplus e = e \oplus a = a \rightarrow a+e-6 = a \rightarrow e - 6 = 0 \rightarrow e = 6 \)

Por lo tanto, el elemento neutro es el 6.
Elementos simétricos:

\( a'\oplus a = e = 6 \rightarrow a' + a - 6 = 6 \rightarrow a' + a = 12 \rightarrow a' = 12-a \)

Todos los elementos tienen simétrico por la izquierda y es de la forma indicada. Si se verifica la propiedad conmutativa no es necesario desarrollar las anteriores propiedades por la derecha:

\( \left.\begin{array}{c}
a \oplus b = a+b-6 \\
\\
b \oplus a = b+a-6
\end{array}\right\} a+b-6 = b+a - 6 \rightarrow a\oplus b = b \oplus a \)

Y, por lo tanto, al verificarse la propiedad conmutativa queda demostrado que todos los elementos tienen simétrico.
Ley de simplificación:

\( \left.\begin{array}{c}
b \oplus a = b+a-6 \\
\\
c \oplus a = c+a-6
\end{array}\right\} b+a-6 = c+a - 6 \rightarrow b = c \)

Y puesto que se cumple la ley conmutativa, podemos decir que todos los elementos son regulares a izquierda y derecha.
La estructura estudiada si es un grupo aveliano.
Queda por demostrar para que valores de λ induce la segunda ley estructura de semigrupo en Z y ver después, en los casos encontrados, si la ley es distributiva respecto a la primera.
En primer lugar, la ley es interna para todo λ perteneciente a Z.
Propiedad asociativa:

\( (a \otimes b) \otimes c = (a·b + \lambda·a + \lambda·b + 42) \otimes c = (a·b + \lambda·a + \lambda·b + 42)c + \)

\( + \lambda·(a·b + \lambda·a + \lambda·b + 42) + \lambda·c + 42 = a·b·c + \lambda·a·c + \lambda·b·c + \)

\( + 42·c + \lambda·a·b + \lambda^2·a + \lambda^2·b + 42·\lambda + \lambda·c + 42 \)

\( a \otimes (b \otimes c) = a·(b \otimes c) + \lambda·a + \lambda·(b \otimes c) + 42 = a(b·c + \lambda·b + \lambda·c + 42) + \)

\( + \lambda·a + \lambda·(b·c + \lambda·b + \lambda·c + 42) + 42 = a·b·c + \lambda·a·b + \lambda·a·c + 42a + \)

\( + \lambda·a + \lambda·b·c + \lambda^2·b + \lambda^2·c + 42·\lambda + 42 \)

Igualando las dos últimas expresiones y simplificando:

\( \lambda^2·a + \lambda·c + 42c = \lambda^2·c + \lambda·a + 42a \Rightarrow \lambda^2 - \lambda - 42 = 0 \Rightarrow \lambda_1 = -6 \; ; \; \lambda_2 = 7 \)

Por lo tanto, la ley es asociativa para los dos valores de λ obtenidos.
Comprobar que la ley es conmutativa para cualquier valor de λ es un ejercicio sencillo, por lo que haremos será ver si esta segunda ley es distributiva respecto a la primera para los valores de λ obtenidos.
Tenemos por un lado:

\(a \otimes (b \oplus c) = a \otimes (b+c-6) = a(b+c-6) + \lambda a + \lambda (b+c-6) + 42 = \)

\( = ab + ac - 6a + \lambda a + \lambda b + \lambda c - 6\lambda + 42 \)

Y por otro:

\( (a\otimes b) \oplus (a \otimes c) = (a \otimes b) + (a \otimes c) - 6 = (ab + \lambda a + \lambda b + 42) + \)

\( + (ac + \lambda a + \lambda c + 42) - 6 = ab + \lambda a + \lambda b + ac + \lambda a + \lambda c + 78 \)

Sustituyendo λ por -6 (o por 7) en ambos resultados, obtenemos que en el primer caso la segunda ley es distributiva respecto a la primera y en el segundo caso no lo es.

Resumiendo, podemos decir que (Z, ⊕ , ⊗) es un anillo conmutativo para las leyes definidas en el enunciado, si y solo si λ = -6.