Ejercicios de estructuras algebraicas - Respuesta 11

Para que \( (Z, \oplus)\) (Z, ⊕)sea un grupo debe cumplir las propiedades que definen tal estructura. Tenemos:
Propiedad asociativa

\( \begin{array}{l}
(a\oplus b)\oplus c = (a \oplus b)+c-8 = [(a+b)-8]+c-8 = a+b+c-16 \\
\\
a \oplus (b \oplus c) = a + (b \oplus c) -8 = a+[(b+c)-8]-8 = a+b+c-16
\end{array} \)

Y se cumple la propiedad asociativa.
Existencia de elemento neutro:

\( a \oplus e = e \oplus a = a \; \rightarrow a+e-8 = a \rightarrow e-8 = 0 \rightarrow e = 8 \)

Por lo tanto, el elemento neutro es el 8.
Elementos simétricos:

\( a' \oplus a = e = 8 \rightarrow a' + a-8 = 8 \rightarrow a' + a= 16 \rightarrow a' = 16-a \)

Todos los elementos tienen simétrico por la izquierda y es de la forma indicada. Si se verifica la propiedad conmutativa no es necesario desarrollar las anteriores propiedades por la derecha:

\( \left.\begin{array}{c}
a \oplus b = a+b-8 \\
\\
b \oplus a = b+a-8
\end{array}\right\}\quad a+b-8 = b+a-8 \rightarrow a \oplus b = b \oplus a \)

Y, por lo tanto, como sí se verifica la propiedad conmutativa queda demostrado que todos los elementos tienen simétrico.
Ley de simplificación:

\( \left.\begin{array}{c}
b \oplus a = b+a-8 \\
\\
c \oplus a = c+a-8
\end{array}\right\}\quad b+a-8 = c+a-8 \rightarrow b = c\)

Y puesto que se cumple la ley conmutativa, podemos decir que todos los elementos son regulares a izquierda y derecha.
La estructura estudiada es, por consiguiente, un grupo aveliano.
La segunda ley definida cumple las siguientes propiedades:

\((a\otimes b)\otimes c = (a\otimes b) + c - (a\otimes b)·c = (a+b-ab)+c-(a+b-ab)c = \)

\( = a+b-ab+c-ac-bc+abc \)


\( a \otimes (b \otimes c) = a + (b \otimes c)-a·(b \otimes c)= a + (b+c-bc) - a(b+c-bc) = \)

\( =a+b+c-bc-ab-ac+abc \)

Como ambos términos son iguales, se cumple la propiedad asociativa.
Propiedad conmutativa:

\(\left.\begin{array}{c}
a \otimes b = a+b-a·b \\
\\
b \otimes a = b+a-ba
\end{array}\right\}\quad a+b-ab = b+a-ba \rightarrow a \otimes b = b \otimes a \)

Y se cumple la propiedad conmutativa.
Tenemos según lo visto que la segunda estructura estudiada es un semigrupo comnmutativo.

Para responder a la última cuestión estudiamos la distributividad de la segunda ley respecto de la primera:

\( a \otimes (b \oplus c)= a + (b \oplus c) - a·(b\oplus c)= a + (b+c-8) - a·(b+c-8) = \)

\( = a+b+c-8-ab-ac+8a = a+b+c-ab-ac+8a-8 \)


\( (a\otimes b)\oplus (a\otimes c) = (a+b-ab)\oplus (a+c-ac) = (a+b-ab) + (a+c-ac) - 8 \)

\( = 2a + b + c - ab - ac - 8 \)

Y puesto que no coinciden los dos términos, podemos decir que la segunda ley estudiada no es distributiva respecto de la primera, lo que significa que la estructura estudiada no es un anillo.