Ejercicios de estructuras algebraicas - Respuesta 10

Para que \( (\bar{a}\wedge \bar{b})\) sea el complemento de \( (a\vee b)\) (a∨b) se tiene que cumplir

\( (a\vee b) \wedge (\bar{a}\wedge \bar{b}) = 0 \quad ; \quad (a\vee b) \vee (\bar{a}\wedge \bar{b}) = 1 \)

y tenemos :

\( (a\wedge b) \wedge (\bar{a}\vee \bar{b}) = a \wedge [b \wedge (\bar{a}\vee \bar{b})] = a \wedge [(b \wedge \bar {a}) \vee (b \wedge \bar {b})] = \)

\( = a \wedge [b \wedge \bar{a}\vee 0] = a \wedge (b \wedge \bar{a}) = a \wedge (\bar{a}\wedge b)= 0 \wedge b = 0 \)

por lo tanto se cumple la primera ecuación. Además:

\( (a\wedge b) \vee (\bar{a}\vee \bar{b}) = [(a \wedge b)\vee \bar{a}]\vee \bar{b} = [(a\vee \bar{a})\wedge (b \wedge \bar{a})]\vee b = \)

\( = [1 \wedge (b \vee \bar{a})]\vee \bar{b} = (b \vee \bar{a})\vee \bar{b} = (b \vee \bar{b})\vee \bar{a} = 1 \vee \bar{a} = 1 \)

Con esto queda demostrado el teorema ya que para la otra operación el proceso es totalmente análogo.