Ejercicios de estructuras algebraicas - Respuesta 8

Por el teorema 3 (problema 3) sabemos que se cumple

a ≤ b ⇒ a∨b = a

por lo tanto, tomando

a ≡ a ∨(b ∧ c) ; b ≡ (a ∧ b) ∨ a ∧ c)

tendremos que demostrar que se verifica :

[a∧(b∨c)]∨[(a∧b)∨(a∧c)] = [a∧(b∨c)]

Por la propiedad asociativa de∨ y la conmutativa de ∧, podemos escribir la anterior expresión en la forma:

{[(b∨c)∧a]∨(a∧b)}∨(a∧c)

y teniendo en cuenta la propiedad asociativa y el axioma de absorción resulta :

{(b∨c)∧[a∨(a∧b)}∨(a∧c) = [(b∨c)∧a]∨(a∧c)

pero aplicando de nuevo los referidos axiomas

(b∨c)∧[a∨(a∧c)} = (b∨c)∧a = a∧(b∨c)

y hemos llegado a donde nos proponíamos para la primera de las expresiones.
Para la otra operación se procedería de modo análogo quedando así demostrado lo dicho en el enunciado.