PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de estructuras algebraicas

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Ejercicios de estructuras algebraicas

Demostrar que si (a, b, c) son tres elementos de un retículo, se cumple
a∧ (b∨ c) ≤ (a∧ b) (a∧ c) ; a∨(b∧c) ≤ (a∨b)∧ (a∨c)
Respuesta al ejercicio8
Por el teorema 3 (problema 3) sabemos que se cumple
a ≤ b ⇒ a∨b = a
por lo tanto, tomando
a ≡ a ∨(b ∧ c) ; b ≡ (a ∧ b) ∨ a ∧ c)
tendremos que demostrar que se verifica :
[a∧(b∨c)]∨[(a∧b)∨(a∧c)] = [a∧(b∨c)]
Por la propiedad asociativa de∨ y la conmutativa de ∧, podemos escribir la anterior expresión en la forma:
{[(b∨c)∧a]∨(a∧b)}∨(a∧c)
y teniendo en cuenta la propiedad asociativa y el axioma de absorción resulta :
{(b∨c)∧[a∨(a∧b)}∨(a∧c) = [(b∨c)∧a]∨(a∧c)
pero aplicando de nuevo los referidos axiomas
(b∨c)∧[a∨(a∧c)} = (b∨c)∧a = a∧(b∨c)
y hemos llegado a donde nos proponíamos para la primera de las expresiones.
Para la otra operación se procedería de modo análogo quedando así demostrado lo dicho en el enunciado.
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tema escrito por: José Antonio Hervás