Problemas y ejercicios resueltos de Algebra de Retículos. Ejercicio número ocho

Demostrar que si (a, b, c) son tres elementos de un retículo, se cumple

a (b c) (a b) (a c) ; a(bc) (ab) (ac)

Respuesta

Por el teorema 3 (problema 3) sabemos que se cumple

a b ab = a

por lo tanto, tomando

a a(bc) ; b (ab)(ac)

tendremos que demostrar que se verifica :

[a(bc)][(ab)(ac)] = [a(bc)]

Por la propiedad asociativa de

y la conmutativa de

, podemos escribir la anterior expresión en la forma:

{[(bc)a](ab)}(ac)

y teniendo en cuenta la propiedad asociativa y el axioma de absorción resulta :

{(bc)[a(ab)}(ac) = [(bc)a](ac)

pero aplicando de nuevo los referidos axiomas

(bc)[a(ac)} = (bc)a = a(bc)

y hemos llegado a donde nos proponíamos para la primera de las expresiones.
Para la otra operación se procedería de modo análogo quedando así demostrado lo dicho en el enunciado.