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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
FORMAS BILINEALES

FORMAS BILINEALES EN ESPACIOS VECTORIALES

 
FORMAS BILINEALES

VECTORES ORTOGONALES A UNA CLAUSURA LINEAL

TEOREMA


Si un vector v es ortogonal a todos los vectores de una familia F, entonces v es ortogonal a su clausura lineal [F].

DEMOSTRACIÓN

Sea F una familia de vectores:
    F = {ui}i ∈ I
Si v es ortogonal a todos los vectores de dicha familia, se tiene v•ui = 0.
Sea x un elemento que pertenece a la clausura lineal de F, entonces podemos poner:



Desarrollando el producto escalar de v y x, tenemos:



Puesto que, por hipótesis, v es ortogonal a cada ui. Podemos concluir entonces, por ser x un vector cualquiera de la clausura lineal de F que v es ortogonal a todo vector de [F].

DEFINICIÓN

si un vector v es ortogonal a todos los vectores de un subespacio S, se dice que v es ortogonal a S. Dos subespacios S1 y S2 son ortogonales si todo vector de uno de ellos es ortogonal a los vectores del otro, y viceversa.

TEOREMA

Sea S un subespacio de V. El conjunto de todos los vectores ortogonales a S es un subespacio vectorial de V que se llama complemento ortogonal de S y se representa por S0.

DEMOSTRACIÓN

Sean x e y dos vectores ortogonales a S, entonces, para todo vector v de S se cumple:
    x ⋅ v = 0     ;     y ⋅ v = 0
Para que el conjunto de vectores ortogonales a S sea un subespacio es necesario y suficiente que el elemento:
    λ·x + μ·y
Sea ortogonal a S.
Operando dicho elemento con v (por el producto escalar) tenemos:
    (λ ⋅ x + μ ⋅ y)v = λ⋅x⋅v + μ⋅y⋅v = 0 + 0 = 0
Y por lo tanto S0 es un subespacio vectorial de V.

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tema escrito por: José Antonio Hervás