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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
FORMAS BILINEALES

FORMAS BILINEALES EN ESPACIOS VECTORIALES

 
FORMAS BILINEALES

NUCLEO DE UNA FORMA BILINEAL SIMÉTRICA

Se llama núcleo de una forma bilineal simétrica al complemento ortogonal de V, es decir, al conjunto de todos los vectores ortogonales a todos los de V.
Consecuencia: Si S es un subespacio de V, el núcleo de la forma bilineal restringida a S (métrica subordinada a S) será:
    N = S ∩ S0
TEOREMA

El núcleo, N, de una forma bilineal φ se reduce al vector nulo si y solo si φ es regular (no degenerada).

DEMOSTRACIÓN

Sea v un elemento de N, entonces, para todo vector de V se tiene v•x = 0 y, considerando la matriz asociada a la forma bilineal :
    VtAX = 0
Según las anteriores condiciones se cumplirá:
    ∀ X ∈ M1n(K) → VtAX = 0
Puesto que X es la expresión matricial del vector genérico x.
Se tendrá, por tanto, que la anterior ecuación matricial se ha de cumplir con los elementos de una base canónica de M1n, es decir:



Y desarrollando cada uno de los productos tenemos:


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



Con lo que podemos formar el sistema:



Según se sabe por la teoría de ecuaciones lineales, si la matriz de los coeficientes del sistema es inversible, su rango es igual al número de ecuaciones del sistema. De ahí podemos concluir que el sistema solo admite la solución trivial, es decir, v = {0}, de donde se tiene:


CONSECUENCIA

La métrica subordinada a un subespacio S es regular si y solo si:
    S ∩ S0 = {0}
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tema escrito por: José Antonio Hervás