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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
FORMAS BILINEALES

FORMAS BILINEALES EN ESPACIOS VECTORIALES

 
FORMAS BILINEALES

ORTOGONALIDAD DE UN ESPACIO EUCLÍDEO

En un espacio euclídeo, V, dos elementos x e y se dicen ortogonales si su producto interior es nulo.
Un subconjunto S de un espacio euclídeo, V, es un conjunto ortogonal si para todo par de elementos distintos x e y de S se cumple que su producto interior es nulo.
Un conjunto ortogonal se llama ortonormal si cada uno de sus vectores tiene norma unidad.
El elemento cero es ortogonal a todo elemento de V y el único elemento ortogonal a sí mismo.

TEOREMA

en un espacio euclídeo, V, todo conjunto ortogonal de elementos no nulos es linealmente independiente. En particular, en un espacio euclídeo de dimensión finita, donde se tenga dim V = n, todo conjunto ortogonal que contenga n elementos no nulos es una base para V.

DEMOSTRACIÓN

Sea S un conjunto ortogonal de elementos no nulos de V y supongamos que existe una combinación lineal de elementos de S que sea nula:



Formando el producto interior de cada miembro por x1 y teniendo en cuenta que se ha de cumplir:
    x1 ⋅ xi = 0 cuando i ≠ 1
Obtenemos:
    c1(x1 ⋅ x1) = 0
Pero, según la cuarta propiedad del producto interior, se tiene:
    x1 ⋅ x1 ≠ 0 , ya que x1 ≠ 0
Por hipótesis y, por lo tanto, ha de ser c1 = 0
Repitiendo el razonamiento cambiando x1 por xj, encontramos que cada cj es nulo.
Lo anterior nos lleva a la conclusión de que S es independiente. Si dim V = n y S consta de n elementos, se tiene, según el teorema que enuncia que cualquier conjunto de n elementos en un espacio vectorial de dimensión n forma una base de V, que S es una base de V que, por constar solo de elementos ortogonales, será ortogonal.

TEOREMA

sea V un espacio euclídeo de dimensión finita, n y sea S = {e1, …, en} una base ortogonal de V. Si un elemento x de V está expresado como combinación lineal de los elementos de dicha base:



Entonces sus componentes relativos a la base ordenada {e1, …, en} vienen dados por las fórmulas:



En particular, si S es una base ortonormal, cada componente de x relativa a {ei} es:
    cj = x ⋅ ej    ;     ∀ j = 1, 2, ..., n      (B)
DEMOSTRACIÓN

Considerando que el producto escalar es una forma bilineal, podemos poner:



Puesto que al ser {ei} ortogonal se tendrá ei ⋅ ej = 0 cuando i y j sean distintos.
De la última ecuación se obtiene inmediatamente la expresión (A) y si los vectores de la base tienen norma unidad, obtenemos (B), con lo que el teorema queda demostrado.

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tema escrito por: José Antonio Hervás