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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
FORMAS BILINEALES

FORMAS BILINEALES EN ESPACIOS VECTORIALES

 
FORMAS BILINEALES

PRODUCTO ESCALAR – PRODUCTO INTERIOR

Dado un espacio vectorial E sobre el cuerpo R de los números reales, vamos a considerar una operación tal que a todo par de vectores x e y de E hace corresponder un número real, que designaremos por x ⋅ y, la cual cumple las siguientes propiedades:
1ª) propiedad conmutativa:
    ∀ x, y ∈ E    ÷    x ⋅ y = y ⋅ x
2ª) propiedad de homogeneidad:
    ∀ x, y ∈ E ; ∀ a ∈ R    ÷    (ax) ⋅ y = a(x ⋅ y)
3ª) propiedad distributiva:
    ∀ x, y, z ∈ E    ÷    x(y + z) = x ⋅ y + x ⋅ z
4ª) propiedad de positividad:
    ∀ x ≠ 0 ∈ E    ÷    x ⋅ x > 0
Esta operación definida axiomáticamente, se denomina producto escalar o producto interior.
Considerando las propiedades primera, segunda y tercera, se desprende inmediatamente que el producto escalar es una forma bilineal simétrica. Por lo tanto, considerando las propiedades de una forma bilineal (ya estudiadas en los apartados anteriores), para obtener una expresión analítica del producto escalar bastará disponer de las expresiones:



Que nos dan los productos escalares formados con los vectores {ai} de una base de E, pues en ese caso, si tenemos:



El producto escalar de estos dos vectores genéricos será:



Y expresado en forma matricial:
    x ⋅ y = Xt ⋅ G ⋅ Y
Un espacio vectorial en el que se ha definido un producto interior se llama espacio real euclídeo. El producto interior puede utilizarse para introducir el concepto métrico de longitud en cualquier espacio euclídeo.

NORMA DE UN VECTOR

En un espacio euclídeo, V, el número no negativo definido por la ecuación:
    ||x|| = √x·x
Se denomina norma del elemento x.
Puesto que es posible definir un producto interior de muchas formas, la norma de un elemento dependerá del producto interior elegido.

Siguiente capítulo: ORTOGONALIDAD DE UN ESPACIO EUCLÍDEO

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tema escrito por: José Antonio Hervás