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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
FORMAS BILINEALES

FORMAS BILINEALES EN ESPACIOS VECTORIALES

 
FORMAS BILINEALES

RANGO DE UNA FORMA BILINEAL

Recibe el nombre de rango de una forma bilineal el rango común de las aplicaciones lineales, i y d, asociadas a izquierda y derecha de una forma bilineal, φ. el rango de una forma bilineal se designa en la forma rango(φ).
Siendo {ai} una base de E, el rango de φ es también igual al rango de la matriz asociada a φ en la base considerada o, dicho de otro modo, el rango de una forma bilineal es igual al rango común de todas sus matrices coordenadas asociadas según distintas bases de E.
Se dice que una forma bilineal es no degenerada si y solo si su rango coincide con la dimensión del espacio vectorial donde opera. En caso contrario se dice que φ es degenerada.

FORMAS BILINEALES SIMÉTRICAS

Se dice que una forma bilineal φ definida sobre un espacio vectorial E es simetrica cuando se tiene:
    φ(x, y) = φ(y, x)    ;    ∀ x, y ∈ E
Se desprende de inmediato que si la forma φ es simétrica se verifica:



Y según hemos definido los elementos de la matriz asociada a una forma bilineal, podemos poner:



Tenemos, por tanto, que la matriz asociada a una forma bilineal simétrica es una matriz simétrica (matriz simétrica es aquella que coincide con su traspuesta).
Recíprocamente, podemos decir que toda forma bilineal φ que lleva asociada una matriz A simétrica es también simétrica. En efecto, recordando que una matriz simétrica es igual a su traspuesta, tenemos:
    X t ⋅ A ⋅ Y = (X t ⋅ A ⋅ Y)t = Yt ⋅ At ⋅ (Xt)t = Yt ⋅ A ⋅ X
Y comparando los términos extremos de la cadena de igualdades, resulta:
    φ(x, y) = φ(y, x)    ;    ∀ x, y ∈ E
Podemos decir entonces que la condición necesaria y suficiente para que una forma bilineal sea simétrica es que lo sea la matriz correspondiente.
Este resultado no depende de la base en que se estudie la forma bilineal pues, considerando la relación de congruencia de matrices, podemos poner:
    A' t= (P t ⋅ A ⋅ P)t = Pt ⋅ At ⋅ (Pt)t = Pt ⋅ A ⋅ P = A'
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tema escrito por: José Antonio Hervás