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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
FORMAS BILINEALES

FORMAS BILINEALES EN ESPACIOS VECTORIALES

 
FORMAS BILINEALES

MATRICES CONGRUENTES

Se dice que dos matrices cuadradas A y A’, de orden n, son congruentes cuando existe una matriz cuadrada regular, P, también de orden n, tal que:
    A' = Pt·A·P
Esta expresión es de equivalencia pues se cumplen las propiedades necesarias:
1ª) propiedad reflexiva:
    A = Pt·A·P
2ª) propiedad simétrica:



3ª) propiedad transitiva:


Estas propiedades nos llevan a plantearnos el problema de buscar la base de E en la cual φ se representa de la forma más sencilla posible y, considerando la simplicidad de las matrices diagonales , ver si es posible encontrar una base de E en la cual φ esté representada por una matriz diagonal. Dicho de otra forma, se nos plantea el problema de ver si existe una matriz diagonal congruente a una matriz dada.
Observamos que existe una analogía entre la matriz asociada a una forma bilineal y la matriz asociada a una aplicación lineal, ya que en este caso se tiene:
    A' = P-1·A·P
No obstante, podemos ver que en este caso se opera con la matriz inversa de P y para las formas bilineales es la matriz traspuesta.

TEOREMA

todas las matrices coordenadas de una forma bilineal φ tienen el mismo rango.

DEMOSTRACIÓN

La demostración es trivial ya que todas las matrices coordenadas de una forma bilineal son congruentes y, por la teoría de los determinantes, sabemos que el determinante de una matriz producto es igual al producto de los determinantes de las matrices factores.
Por otro lado, hemos de considerar que estamos trabajando con un cambio de coordenadas y el rango de una matriz no depende de las coordenadas de los vectores a que se aplica.

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tema escrito por: José Antonio Hervás