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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
FORMAS BILINEALES

FORMAS BILINEALES EN ESPACIOS VECTORIALES

 
FORMAS BILINEALES

MATRICES ASOCIADAS A UNA FORMA BILINEAL

De ahora en adelante y mientras no se especifique lo contrario, vamos a suponer que los dos espacios vectoriales E y F son iguales, con el objeto de llegar a expresiones mas sencillas y que, por otra parte, no dificultan el alcanzar las conclusiones a las que queremos llegar.
La expresión (1) del apartado anterior, cuando suponemos E = F, se escribe en la forma:



Esta expresión se puede poner en forma matricial observando que se tiene:



Donde la matriz A es aquella cuyos elementos se obtienen por la relación:
    αij = φ(ai, aj)   (i, j = 1, ..., n)

Mientras que X e Y son, respectivamente las matrices columna que se forman con los componentes de los vectores x e y en la base dada.
Vemos entonces que, fijada una base {ai} de un espacio vectorial E, a toda forma bilineal φ definida en ExE sobre K, le corresponde una matriz cuadrada A, perfectamente determinada, ya que el elemento genérico de esta matriz viene dado por la expresión φ(ai, aj). Recíprocamente, si tenemos una matriz cuadrada A podemos considerar que su elemento genérico α es el valor que toma una determinada forma bilineal φ(ai, aj), lo cual nos permite, recordando las propiedades de las formas bilineales, obtener cualquier otro valor φ(x, y).
Vamos a ver ahora cómo se modifica una forma bilineal cuando se efectúa un cambio de base en el espacio vectorial, E, considerado.
Consideremos para ello una base {a’i} de E, distinta de la dad anteriormente, y sean X’ e Y’ las matrices columna respectivas de los vectores x e y en la nueva base. Considerando la forma bilineal α se tendrá:
    φ(x, y) = X't· A' · Y'
Donde A’ representa la matriz de elementos:



Como la forma φ se ha definido con independencia del sistema de referencia, se ha de cumplir:
    Xt· A · Y = X't· A' · Y'
Recordado, por otro lado la expresión matricial del cambio de base, podemos poner:
    X = P · X'     ;     Y = P · Y'
Donde P es la referida matriz de cambio.
Llevando estas expresiones de X e Y a la anterior igualdad, se tiene:
    X't· Pt· A · P · Y' = X't· A' · Y'
De donde se deduce inmediatamente, dado el carácter genérico de los vectores x e y, que la matriz A’ asociada a la forma φ en la nueva base {a’i} se expresa por:
    A' = Pt·A·P
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tema escrito por: José Antonio Hervás