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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
FORMAS BILINEALES

FORMAS BILINEALES EN ESPACIOS VECTORIALES

 
FORMAS BILINEALES

DEFINICIONES GENERALES

Dados dos espacios vectoriales E y F, distintos o no, definidos sobre un mismo cuerpo K, se llama forma bilineal sobre ExF a una aplicación del producto cartesiano ExF en el cuerpo K
Si se tienen x perteneciente a E e y perteneciente a F, la aplicación
    f(x, y) = t ∈ K
Es una forma bilineal que cumple las siguientes propiedades:



El término φ representa cualquier operación o conjunto de operaciones previamente fijado.
Después de la definición dada, vamos a tratar de encontrar la forma bilineal de un par de vectores en función de la de los vectores de las bases. Para ello supongamos que E y F son dos espacios vectoriales de dimensión m y n, respectivamente, siendo:
    {ai}(1 ≤ i ≤ m) y {bi} (1 ≤ j ≤ n)
Dos bases respectivas de dichos espacios.
Cualquier vector de los referidos espacios vectoriales se expresará en la forma:



Con lo que para toda familia bilineal φ definida sobre ExF tendremos, según las dos propiedades de bilinealidad:



Y poniendo:
    αij = φ(ai, bj)
Nos queda finalmente:



La ecuación (1) nos permite, por tanto, determinar m•n escalares αij que verifican la relación anterior.
Recíprocamente, si se tienen m•n esclares αij, elegidas unas bases de E y F, la fórmula (1) define una aplicación de ExF en K que es manifiestamente bilineal.

TEOREMA

Si E y F son dos espacios vectoriales de dimensiones respectivas m y n sobre un cuerpo K, es un espacio vectorial de dimensión m•n sobre K.

DEMOSTRACIÓN

Consideremos en particular las m•n formas bilineales θij definidas por:
    θij (ai', bj') = δii'· δjj'   ;    (i = 1, ..., m), (j = 1, ..., n)

Y donde δ es la delta de Kronecker.
Podemos poner entonces:
    θij(x, y) = xiyj

Y para toda forma bilineal φ de se tendrá:



Por lo que podemos poner:



Por lo tanto, las m•n formas bilineales θij engendran .
Vamos a demostrar ahora que estas m•n formas bilineales son linealmente independientes. Sea, para ello, la forma:



Esta expresión implica que para todo i’ dentro de [1, m] y para todo j’ dentro de [1, n] se tiene:



Y por lo tanto, las m•n θij son linealmente independientes. Queda, por tanto, demostrado el teorema.

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tema escrito por: José Antonio Hervás