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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
TEORÍA DE EDO

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

 

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS



ECUACIONES DIFERENCIALES RESOLUBLES EN "x" e "y"

Las del primer tipo son aquellas ecuaciones diferenciales que se pueden poner en la forma:



Y para las que tomamos las siguientes ecuaciones paramétricas:



Sabiendo entonces que se ha de cumplir:
    dy = pdx
Podemos poner:



Resolviendo esta ecuación obtenemos una solución de la forma H(u, v, C) = 0 que, junto con las expresiones x = f(u, v) ; y = u, nos da una expresión de la forma h(x, y, C) = 0 que es la solución buscada.

Las del segundo tipo son aquellas ecuaciones diferenciales que se pueden poner en la forma:



Y para las que tomamos las ecuaciones paramétricas:



De donde resulta:



Ecuación que resuelta nos da una solución de la forma G(x, p, C) = 0.

A partir de aquí, podemos seguir dos caminos

1º) Cambiar p por y’ lo cual nos da una solución de la forma G(x, y’, C) = 0

2º) Considerar la ecuación G(x, p, C) junto a la y = g(x, p) para eliminar el parámetro “p”, lo que nos dará una ecuación de la forma g(x, y, C) = 0.

El segundo camino es el más sencillo de los dos puesto que por el primero tendríamos que integrar dos veces y ello nos daría una solución de la forma G(x, y, C1, C2) donde C1 y C2 son linealmente dependientes y, por lo tanto, se pueden englobar en una sola constante.

Ejemplo.- Consideremos la ecuación diferencial:



En principio, esta ecuación diferencial es resoluble en y’ ya que podemos obtener las raíces de la ecuación algebraica de segundo grado en y’; pero de ese modo el problema se complica bastante a la hora de resolver cada ecuación. Por lo tanto, vamos a considerar que la ecuación es resoluble en x. Tenemos:



A continuación, según hemos visto, tenemos que buscar las curvas que verifiquen:
    dy = pdx
Y tenemos:



De donde resulta:



Expresión de la que podemos despejar dp/dy para obtener:



E integrando:



Sustituyendo el valor de p en la ecuación f(y, p) obtenemos:



Que es la solución buscada.

Un tipo especial de ecuación diferencial resoluble en "x" e "y" es la denominada,...

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE D'ALAMBERT - LAGRANGE

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tema escrito por: José Antonio Hervás