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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
TEORÍA DE EDO

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

 

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS



ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR A UNO

Hasta ahora hemos visto únicamente ecuaciones diferenciales en las que y’ no estaba elevada a ninguna potencia, es decir, que tenían la forma:



En este apartado vamos a estudiar ecuaciones de la forma:



En las que y’ puede estar elevada a la potencia n.

Existen algunos tipos de ecuaciones diferenciales que pueden ser transformadas y estudiadas como ecuaciones de primer grado y primer orden; entre ellas tenemos como casos especiales los siguientes:
    Ecuacion de Bernouilli        Ecuación de Riccati
Dentro de la categoria de las ecuaciones diferenciales de primer orden y grado superior a uno, ttenemos varios tipos:

Ecuaciones diferenciales resolubles en y’

Toda ecuación diferencial algebraica resoluble en y’:



Donde P0, P1, …, Pn son funciones de x e y, pueden descomponerse, despejando y’, ene ecuaciones lineales, habiendo tantas de estas como raíces tenga la ecuación algebraica:



Para cada uno de estos casos tendremos una solución de la forma:



Y la solución general vendrá dada por una combinación lineal de ellas.

Ejemplo.- resolver la ecuación diferencial:



Puesto que no podemos poner y’ de forma explícita aplicamos el método que estamos estudiando. Consideramos la ecuación como un polinomio de grado 4 en y’, y calculamos sus raíces.

Como en el caso general de las ecuaciones algebraicas podemos aplicar la regla de Rufini para determinar las raíces de la anterior ecuación:



Podemos decir que 1 es raíz de la anterior ecuación.

Aplicando los métodos de resolución de ecuaciones algebraicas se llega a la conclusión de que, además de 1, las raíces de la anterior ecuación son 0, x, 2y, es decir, que la anterior ecuación se puede poner en la forma:



Con lo que tenemos cuatro ecuaciones diferenciales que serán:



Para expresar la solución general debemos poner cada solución parcial en la forma hi(x,y,Ci) = 0 para después multiplicar todas las ecuaciones obtenidas entre sí, es decir:



En el caso más general de las ecuaciones de la forma F(x,y,y’) = 0 se puede sustituir y’ por una variable p, de modo que se tenga F(x, y, p) = 0 que es la ecuación de una superficie, puesto que se tienen tres parámetros independientes: x, y, p.

Si se conoce una representación paramétrica de la superficie, podemos poner:



Si se conoce una integral de la ecuación diferencial del sistema anterior, dicha solución vendrá representada por una curva α y su ecuación sería:



Donde suponemos que α es la proyección de otra curva σ que se encuentra sobre la superficie S de tal forma que se verifica:



Recíprocamente, si σ es una curva tal que y = f(x) ; p = g(x), sobre la que se cumple p = dy/dx, la proyección de σ sobre el plano XY nos da la curva y = f(x) que es la integral buscada.

Según eso, el problema de buscar las soluciones α sobre la superficie S tales que cumplan la condición (1):



Integrando esta ecuación se obtiene una solución de la forma H(u, v, C) = 0 que corresponde a la curva σ dada por los parámetros u, v. Mediante el cambio:



Obtendremos una proyección de dicha curva sobre el plano XY: h(x, y, C) = 0, que será la curva α buscada.

Según la anterior interpretación de la ecuación F(x, y, y’) = 0, podemos encontrar además de las ecuaciones resolubles en y’ otros casos que estudiamos en el capítulo siguiente.

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tema escrito por: José Antonio Hervás