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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
TEORÍA DE EDO

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

 

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS



ECUACIÓN DIFERENCIAL DE D'ALAMBERT - LAGRANGE. ECUACION DIFERENCIAL DE CLAIRAUT

La ecuación de D’ALAMBERT – LAGRANGE es un tipo de ecuaciones diferenciales lineales en "x" e "y" que toman la forma:



Si derivamos esta expresión respecto de x obtenemos:



O lo que es igual:



Tomando x como variable dependiente podemos poner:



Que es una ecuación lineal en x integrable por métodos ya desarrollados en esta monografía.

Podemos recordar que en las ecuaciones lineales el factor integrante y la solución general vienen dados por:



De donde tenemos:



Y sustituyendo el valor del factor integrante en la otra ecuación



Obtenemos de ese modo una ecuación de la forma x = x(p, C) que, junto a la ecuación (1 DL), nos permite llegar a una solución de la forma h(x, y, C) = 0.

Un caso particular de la ecuación de D’Alambert – Lagrange se tiene si f(p) = p, es decir:



Que recibe el nombre de ecuación de Clairaut.

Para resolver esta ecuación se procede de la siguiente forma:



Esta situación nos da dos posibilidades.

Primera:



Segunda:



Este segundo caso es una solución singular y podemos interpretarla como la envolvente de las curvas dadas por el caso primero.

Tomando la solución general de la ecuación de Clairaut y derivando respecto a C tenemos:



Expresión que coincide con la del segundo caso.

Este resultado lo podemos generalizar buscando soluciones singulares para todos los tipos de ecuaciones diferenciales vistas. Las soluciones singulares pueden aparecer resolviendo el sistema:



Para ver que esto es así, procedemos a la inversa, es decir, suponemos que tenemos una ecuación diferencial F(x,y,y’) = 0.

La resolución de esta ecuación nos da una solución general de la forma Φ(x,y,C) = 0. Si derivamos esta ecuación:



Y la consideramos junto a ella, volveríamos a obtener F(x, y, y’) = 0.

Pero supongamos ahora que C es función de x e y. Podemos poner entonces:



Y derivando:



Si de esta expresión eliminamos (por la solución general) nos queda:



Para finalizar debemos insistir en que Φ'c = 0 sólo será solución singular si verifica la ecuación diferencial inicial.

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tema escrito por: José Antonio Hervás