PROBLEMAS RESUELTOS
DE FISICA
ejercicios resueltos de óptica y ondas

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Ejercicios de óptica y ondas

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PROBLEMAS RESUELTOS DE ÓPTICA

Un cierto medio anisótropo tiene como tensor dieléctrico:
    \(\varepsilon = \left( \begin{array}{ccc} 2& 1& 0 \\ 1& 2& 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)\)

Suponiendo que la permeabilidad magnetica \(\mu\) vale 1,determinar los indices de refracción correspondientes a una onda plana propagandose en la dirección \((1/\sqrt{2} , 1/\sqrt{2} , 0)\) con respecto a los ejes principales del cristal.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 26

En primer lugar diagonalizamos el tensor dielectrico:
    \(\begin{array}{l}
    \det (A - \lambda I) = 0 \Rightarrow (1-\lambda)(2-\lambda)^2 - (1-\lambda)= 0 \\
     \\
    \Rightarrow \lambda= 1 \;;\; \lambda = 3 \;; \lambda = 1
    \end{array} \)

Segun eso, el tensor diagonalizado es :

    \(M = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ \end{array} \right) \)
par lo que se trata de un medio uniáxico.
Recordando la expresión del vector de dirección dada en el enunciado y sustituyendo en las fórmulas de Fresnel para cristales uniáxicos tenemos :
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \frac{1}{2}(v^2 - v_y^2)(v^2 - v_z^2)+ \frac{1}{2}(v^2 - v_x^2)(v^2 - v_z^2) = 0 \Rightarrow\\ \\\Rightarrow (v^2 - v^2_z)[(v^2 - v^2_y) + (v^2 - v^2_x)] = 0 \end{array} \)

Igualando a cero cada uno de los factores resultará:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} v = v_z = v_e = \frac{c}{\sqrt{3\mu}} \\  \\ v = \frac{\sqrt{v_x^2 + v_y^2}}{2} = v_o = \frac{c}{\sqrt{\mu}} \end{array} \)
por ser
    \(\displaystyle v_{x,y} = \frac{c}{\sqrt{\mu \varepsilon_{x,y}}} \)

Finalmente, los índices de refracción correspondientes serán :

    \(\displaystyle n_o = \frac{c}{v_o} = \sqrt{\mu}\quad ; \quad n_e = \frac{c}{v_e} = \sqrt{3 \mu} \)

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Página publicada por: José Antonio Hervás