PROBLEMAS RESUELTOS
DE FISICA
ejercicios resueltos de óptica y ondas

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Ejercicios de óptica y ondas

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PROBLEMAS RESUELTOS DE PTICA

Se considera el esquema de la figura:

Esquema óptico

Un frente plano monocromatico incide perpendicularmente sobre una lente L de radio R.
a) Calcular en aproximación de Fraunhofer, la amplitud difractada y la intensidad sobre el plano focal P de la lente L.¿Cual sera su valor en el foco F?.
b) Se coloca inmediatamente delante de la lente un disco plano opaco y circular D ,perpendicularmente a las rayos incidentes. El centro del disco esta situado sobre el eje del sistema. Calcular la amplitud y la intensidad sobre el plano P ¿Cual será su valor en F?.

Comparar y analizar estos resultados con los del apartado a).
Para la resolución del problema,tenganse en cuenta los siguientes resultados:

    \(\displaystyle \int_{0}^{2\pi}e^{+ix\cos \theta}d\theta = 2\piJ_o(x) \;;\;\int_{o}^{z}J_o(x)xdx = J_1(z) \)
donde \(J_0\textrm{ y }J_1\) son,respectivamente ,las funciones de Bessel de primera clase de órdenes 0 y 1.



RESPUESTA DEL EJERCICIO 25

Expresando en coordenadas cilíndricas, la ampIitud sobre P vendrá dada por:
    \(\displaystyle A_P = C\int_{0}^{R}\int_{0}^{2 \pi}e^{ik(\rho \rho_o/f)\cos (\theta - \theta_o)}\rhod\rho d\theta \)
donde las coordenadas radiales \(\rho\textrm{ y }\rho_o\) corresponden al plano de la lente y al focal, P, respectivamente. Teniendo en cuenta las observaciones del enunciado, obtenemos :
    \(\displaystyle \begin{array}{c} C\int_{0}^{R}\int_{0}^{2 \pi}e^{i(\omega \rho)\cos (\theta - \theta_o)}\rhod\rho d\theta = 2\pi C \int_{0}^{R}J_o(\omega \rho)\rho d\rho = \\  \\ 2 \pi C\frac{R}{\omega}J_1(\omega \rho) = C(\pi R^2)\frac{2J_1(\omega R)}{\omega R} \qquad \textrm{ con } \omega = \frac{k\rho_o}{f} \end{array} \)
Y por tanto,la intensidad sobre P vale:
    \(\displaystyle I_P = A_PA_P^* = C^2(\pi R^2)^2\frac{4J_1^2(\omega R)}{(\omega R)^2} \)
En el foco \(\rho_o = 0\), y nos queda:
    \(\displaystyle I_P(\rho_o = 0) = C^2(\pi R^2 )^2\quad\textrm{ ya que } \omega = 0 \textrm{ si } \rho_o = 0 \)
Si consideramos el apartado b ,la amplitud sobre P sera en este caso
    \(\displaystyle A_P = C\left[(\pi R^2)\frac{2J_1(\omega R)}{\omega R} - (\pi R_D^2)\frac{2J_1(\omega R_D)}{\omega R_D} \right] \)
Donde \(R_D\) es el radio del disco opaco considerado en la figura adjunta.
Esquema óptico
Operando de forma análoga al caso anterior, la intensidad sobre P sera:

    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    I_P = C^2\pi^2\left\{R^4\left[\frac{2J_1(\omega R)}{\omega R}\right]^2 + R_D^4\left[\frac{2J_1(\omega R_D)}{\omega R_D}\right]^2\right. \\
     \\
    \left. -2·R^2R_D^2\frac{2J_1(\omega R)}{\omega R}·\frac{2J_1(\omega R_D)}{\omega R_D} \right\}
    \end{array} \)
y en el foco, con \(\rho = 0\),tendremos:
    \(\displaystyle I_P (\rho= 0) = C^2\pi^2R^4\left[1 - \left(\frac{R_D}{R}\right)^2\right]^2 \)

Si comparamos esta última expresión con la correspondiente del caso anterior vemos que la intensidad en b) sobre el foco ha disminuido respecto de la del caso a) en una proporción:

    \(\displaystyle \left[1 - \left(\frac{R_D}{R}\right)^2\right]^2 \)

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Página publicada por: Jos Antonio Hervs