PROBLEMAS RESUELTOS
DE FISICA
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PROBLEMAS RESUELTOS DE ÓPTICA

Determinar la figura de difracción de Fraunhofer producida por dos aberturas cuadradas desplazadas una respecto a la otra.
Ejercicio de óptica

RESPUESTA DEL EJERCICIO 49

La figura de difracción producida por la abertura cuadrada se calcula por:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    g_p = Cte\int_{-a/2}^{a/2}e^{iK·ux}dx·\int_{-a/2}^{a/2}e^{iK·vy}dy = \\
     \\
    Cte·a^2·sinc\left(K·\frac{ua}{2}\right) ·sinc\left(K·\frac{va}{2}\right)= g_p(u,v)
    \end{array} \)
Con:
    \( \displaystyle sinc\:x = \frac{\sin x}{x} \)
Dónde hemos supuesto:
a = dimensión de la abertura.
u,v = coordenadas en el plano de la pantalla:
    \( \displaystyle u = \frac{x_o}{f}\quad ; \quad v = \frac{y_o}{f} \)
Siendo f la distancia focal de la lente.
Para este caso, la intensidad de un punto P de la pantalla valdrá:
    \( \displaystyle I_p = g_p·g_p^* = Cte(a^2)^2·sinc^2\left(K·\frac{u·a}{2}\right)·sinc^2\left(K·\frac{v·a}{2}\right) \)
Calculando los máximos y mínimos se llega al modelo de difracción que consta de un máximo central de intensidad igual a \( Cte(a^2)^2 \) y de máximos secundarios cuya intensidad decrece rápidamente al aumentar el orden.
Si trasladamos una abertura en su mismo plano, la intensidad en punto P de la misma pantalla es la misma y solo cambia la fase de la onda resultante en un factor:
    \( \exp iK(u·\Delta_1+v·\Delta_2) \)
Nuestro problema es calcular la figura de difracción producida por una doble abertura cuadrada desplazada una respecto a la otra. Una de las aberturas está centrada en el origen del sistema de coordenadas y para la otra se puede suponer una traslación de manera que:
    \( x' = x + \Delta_1\qquad ; \qquad y' = y + \Delta_2 \)
Según eso, amplitud compleja resultante en P vendrá dada por:
    \( g'_p = g_{1p} + g_{2p} = \left\{1 + \exp[iK(u\Delta_1+ v\Delta_2)]\right\}g_p \)
Siendo \( g_p \) la amplitud compleja resultante en P de una rendija como la anterior.
La intensidad para este caso será:
    \( \displaystyle I'_p = |g'_p|^2 = Cte·\cos^2K· \frac{u·\Delta_1 + v·\Delta_2}{2}·I_p \)
Siendo \( I_p \) la intensidad calculada anteriormente y el resto un factor interferencial.
En el plano de observación se obtiene la figura de difracción de vida a una abertura cuadrada centrada en el origen, modulada por el factor interferencial cosenoidal.

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Página publicada por: José Antonio Hervás