PROBLEMAS RESUELTOS
DE FISICA
ejercicios resueltos de óptica y ondas

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Ejercicios de óptica y ondas

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PROBLEMAS RESUELTOS DE ÓPTICA

Una onda plana de longitud de onda 500 nm incide normalmente sobre una rendija de =,1 mm de anchura. Calcúlense los ángulos de difracción correspondientes a los tres primeros mínimos. Suponiendo que qué es exacta la aproximación de Fraunhofer hasta 15º (\( \sin 15º \simeq \tan 15º \simeq 0,26 \)) ¿ cuántos mínimos pueden aparecer en la figura de difracción? Supóngase ahora una rendija de anchura 10 veces menor, funda a las mismas preguntas anteriores y compare ambas figuras de difracción.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 43

Ejercicio de óptica
La figura de difracción producida por una rendija, en aproximación de Fraunhofer, viene dada por la expresión:
    \( I = I_o·sinc^2 x \)
Dónde:
    \( \displaystyle x = \left(\frac{\pi}{\lambda}\right)·a·\sin \theta \)
Y \( \theta \) es el ángulo de difracción pedido tal que:
    \( \displaystyle \sin \theta \simeq \tan \theta = \frac{d}{D} \)
Está aproximación sea válida, ángulos de difracción no han de ser superiores a 15º (\( \sin 15º \simeq \tan 15º \simeq 0,26 \)).
Esta función presenta sus mínimos para:
    \( \displaystyle \sin x_i = 0 \Rightarrow \frac{\pi}{\lambda}·a·\sin \theta_i = m·\pi \Rightarrow \sin \theta_i = m·\frac{\lambda}{a} \)
De ese modo tendremos:
    \( \begin{array}{c} \theta_1 = \arcsin (5\times 10^{-3}) = 0,3º \\  \\ \theta_2 = \arcsin (10^{-2}) = 0,6º \\  \\ \theta_3 = \arcsin (1,5\times 10^{-2}) = 0,9º \end{array}\)
El número de mínimos viene dado por la relación:
    \( \displaystyle \sin \theta_i \leq \sin 15º = 0,26 \Rightarrow m·\frac{\lambda}{a} \leq 0,26 \Rightarrow m \simeq 52 \)
Pueden observarse 52 mínimos a derecha y a izquierda del máximo central.
Sí suponemos ahora qué "a" es 10 veces menor: a = 0,01 mm, entonces:
    \( \begin{array}{c} \theta_1 = \arcsin (5\times 10^{-2}) = 3º \\  \\ \theta_2 = \arcsin (10^{-1}) = 6º \\  \\ \theta_3 = \arcsin (1,5\times 10^{-1}) = 9º \end{array} \)
Vemos entonces, el resultado anterior, en la figura se extiende en razón inversa a la anchura "a" de la rendija, ya que en el segundo caso los ángulos de difracción para los tres primeros mínimos son 10 veces mayores que en el primero.
Veamos ahora el máximo número de mínimos observables. Haciendo igual que antes:
    \( \displaystyle \sin \theta_i \leq \sin 15º = 0,26 \Rightarrow m·\frac{\lambda}{a} \leq 0,26 \Rightarrow m \simeq 5 \)
Y puede observarse 5 mínimos en cada dedo del máximo central. La figura de difracción es mucho más " ancha" cuanto más " estrecha" es la rendija que la produce.

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Página publicada por: José Antonio Hervás