PROBLEMAS RESUELTOS
DE FISICA
ejercicios resueltos de óptica y ondas

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Ejercicios de óptica y ondas

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Ejercicios resueltos

PROBLEMAS RESUELTOS DE ÓPTICA

Sea el dispositivo interferencial de tipo Michelson de la figura,
Ejercicio de óptica
en el que se tiene:
    \( (d_1 - d_2) << D \;, \; d_1 \; ; \; d_2 \)
Nótese que entre la lámina separadora L y la pantalla P, NO se encuentra situada ninguna lente. Calcúlese:
a) la distribución de intensidades sobre P en una región centrada en O de radio R (para la que se cumpla \( R<<D, h, d_1, d_2\)) ¿ qué aspecto presenta la figura de interferencias?¿ Y si \( d_1=d_2 \)?.
b) la posición de los máximos de la figura de interferencias y la separación entre ellos. Realícense los mismos cálculos en el caso de que se tenga \( d_1=d_2 \).

RESPUESTA DEL EJERCICIO 10

El dispositivo interferencial de tipo Michelson que aparece en la figura es completamente equivalente (cuando tenemos, como ocurre ahora, un foco puntual) accidente interferómetro representado en el esquema adjunto, dónde \( F_1 \;y \;F_2 \) son también focos puntuales la misma intensidad y separados una distancia \( 2(d_1-d_2) \).
Ejercicio de óptica

La distancia entre \( F_2\) y el punto O vale:
    \( d+2·d_2+h \)
Para establecer esta analogía hemos tenido en cuenta que los espejos del interferómetro de Michelson dan imágenes virtuales del foco puntual a una distancia
    \( d+d_i\qquad \textrm{con} \; i=1,2 \)
Por detrás de ellos, que estos focos puntuales virtuales iluminan, con sus amplitudes superpuestas, la pantalla P. Por tanto la figura de interferencia que observamos en el Michelson sobre P será la misma que la que veremos sobre P' en el interferómetro de la figura superior.
Ejercicio de óptica

Leyendas del esquema:
    1.- Foco puntual virtual, imagen de F al reflejarse en \( E_2 \)

    2.- Foco puntual virtual. Imagen de F al reflejarse en \( E_1 \)
Las amplitudes procedentes de \( F_1\quad y\quad F_2 \) sobre P' serán:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    u_1 = \frac{1}{\sqrt{\rho^2 + z^2}}·\exp \left[ik \sqrt{\rho^2 + z^2}\right] \\
     \\
    u_2 = \frac{1}{\sqrt{\rho^2 + (z- \Delta d)^2}}·\exp \left[ik \sqrt{\rho^2 + (z- \Delta d)^2}\right]
    \end{array} \)
Dónde en nuestro caso:
    \( z = D + 2d_1+h\quad ; \quad \rho^2 = x^2+y^2 \quad ; \quad \Delta d = 2(d_1-d_2) \)
Sobre P' la amplitud total será la suma \( u_1+u_2 \) y la intensidad valdrá:
    \( \displaystyle I(\rho) = u_T·u_T^* = (u_1+u_2)(u_1^*+u_2^*) \simeq \left(\frac{2}{z^2}\right)[1+\cos k\delta] \)
Dónde, teniendo en cuenta que \( \Delta d << z \), y también que \(\rho<<z \), se han aproximado los denominadores de \( u_1\quad y\quad u_2 \) por \( z^2 \), escribiendo además:
    \( \delta = \sqrt{\rho^2 + z^2} - \sqrt{\rho^2 + (z- \Delta d)^2} \)
Las aproximaciones han sido hechas de la siguiente manera:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \sqrt{\rho^2 + (z- \Delta d)^2} = \sqrt{\rho^2 + z^2\left(1 - \frac{\Delta d}{z}\right)^2}\simeq \sqrt{\rho^2 + z^2\left(1 - \frac{2·\Delta d}{z}\right)} = \\
     \\
    = \sqrt{\rho^2 + z^2 - 2z·\Delta d} = \sqrt{(\rho^2+z^2)\left(1 - \frac{2z·\Delta d}{\rho^2+z^2}\right)}\simeq \\
     \\
    \simeq \sqrt{\rho^2+z^2}\left(1 - \frac{z·\Delta d}{\rho^2+z^2}\right) = \sqrt{\rho^2+z^2} - \frac{z·\Delta d}{\sqrt{\rho^2+z^2}}
    \end{array} \)
Sustituyendo este valor en la expresión de \( \delta \) nos queda:
    \( \displaystyle \begin{array}{c}
    \delta \simeq \sqrt{\rho^2+z^2} - \left\{\sqrt{\rho^2+z^2} - \frac{z·\Delta d}{\sqrt{\rho^2+z^2}}\right\} = \\
     \\
    = \frac{z·\Delta d}{\sqrt{\rho^2+z^2}} \simeq \Delta d \left[1 - \frac{1}{2}\left(\frac{\rho}{z}\right)^2\right]
    \end{array} \)
Dónde en la última actualización hemos recordado de nuevo que \( \rho<<z \).
Con todos los cambios, finalmente, la intensidad sobre sobre P' nos queda en la forma:
    \( \displaystyle I(\rho) = \left(\frac{2}{z^2}\right)\left\{1 + \cos k·\Delta d \left[1 - \frac{1}{2}\left(\frac{\rho}{z}\right)^2\right]\right\} \)
La figura de interferencia será un conjunto de círculos concéntricos alternativamente claros y oscuros, centrados en O.
Si \( d_1=d_2 \), es decir \( \Delta d = 0 \), entonces resulta:
    \( \displaystyle I(\rho) = \left(\frac{2}{z^2}\right)·2= Cte. \)
Independiente de \( \rho \).
Los máximos vendrán dados por la condición:
    \( \displaystyle\begin{array}{l}
    \cos \left\{k \Delta d \left[1 - \frac{1}{2}\left(\frac{\rho}{z}\right)^2\right]\right\}= 1 \Rightarrow \\
    \Rightarrow k \Delta d \left[1 - \frac{1}{2}\left(\frac{\rho}{z}\right)^2\right]= 2n·\pi\quad,\;n=0,1,2,...
    \end{array} \)
Despejando obtenemos (sabiendo que \( k=2\pi/\lambda \)):
    \( \displaystyle \rho_\max = z\sqrt{2\left(1 - \frac{n\lambda}{\Delta d}\right)}\qquad ; \; n=0,1,2,... \)
y la separación entre los máximos de orden n y n-1 valdrá:
    \( \displaystyle \Delta\rho_{n,n-1} = z\left\{\sqrt{2\left(1 - \frac{(n-1)\lambda}{\Delta d}\right)}- \sqrt{2\left(1 - \frac{n\lambda}{\Delta d}\right)}\right\} \)
Vemos, pues, que la separación entre los máximos consecutivos NO es constante sino que depende del orden del máximo considerado.

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Página publicada por: José Antonio Hervás