PROBLEMAS RESUELTOS
DE FISICA
ejercicios resueltos de óptica y ondas

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Ejercicios de óptica y ondas

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PROBLEMAS RESUELTOS DE ”PTICA

Sea el dispositivo interferencial de la figura: Un foco puntual F ilumina las dos mitades separadas de una lente, \( L_1 \quad y \quad L_2 \), situadas a una distancia de F igual a f y 2f, respectivamente, siendo f la focal.
a) hacer un esquema de la región en donde pueden observarse interferencias.
b)¿ cuál será el espectro de la figura de interferencias sobre P?.
c) en la región de interferencias sobre P y un un pequeño entorno del eje \( z \), calcular la separación entre máximos consecutivos.

Ejercicio de óptica


RESPUESTA DEL EJERCICIO 9

La figura de interferencias sobre la pantalla será debida a la superposición de un frente esférico procedente de la fuente puntual F" imagen de F dada por la lente \( L_2 \), y otro plano, cuya dirección de propagación será perpendicular a la pantalla y originado al estar F situado en el foco de la lente \( L_1 \). Según eso, podemos escribir para la amplitud total sobre la pantalla:
    \( g_T = g_1 + g_2 = A_1\exp[ik\sqrt{z^2 +\rho^2}]|_{z = D'} + A_2\exp [ik(z+\delta)]|_{z=D'} \)
Dónde hemos tomado:
    \( \rho^2 = x^2+y^2 \)
Y habiendo considerado en las amplitudes \( A_1 \quad y \quad A_2 \) los factores que no afectan a las características de la figura de interferencias sobre P, ya que estudiamos el problema en aproximación parcial.
Para desarrollar la anterior expresión debemos calcular los valores de D' y \( \delta \). El primero de ellos es la distancia de F" a la pantalla y para tenerlo consideramos la ecuación de los focos conjugados en las lentes delgadas:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{1}{f'} = \frac{1}{a'} - \frac{1}{a}= \frac{1}{a'} - \frac{1}{2f}\Rightarrow \frac{1}{a'} = \frac{3}{2f} \Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow a' = \frac{2}{3}f\quad ; \quad D' = D-a' = D-\frac{2}{3}f
    \end{array} \)
El desfase de \( \delta \) para la segunda exponencial viene dado en función de la diferencia de camino óptico entre los dos haces, puesto que el camino óptico entre frentes de onda a lo largo de cualquier rayo es el mismo, podemos poner:
    \( \displaystyle g = 2f + \frac{2}{3}f = \frac{8}{3}f \)
Así pues, hemos para la intensidad sobre la pantalla:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    I(\rho) = g^*_T·g_T = A_1^2 + A_2^2 + A_1A_2·\exp \left[ik(D' +\delta) - ik\sqrt{D'^2 +\rho^2}\right] +\\
     \\
    + A_1A_2·\exp\left[-ik(D' +\delta) - ik\sqrt{D'^2 +\rho^2}\right] = \\
     \\
    = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2·\cos \left[k(D'+\delta) - k\sqrt{D'^2+\rho^2}\right]
    \end{array} \)
Y teniendo en cuenta los valores de \( \delta \quad y \quad D' \)
    \( \displaystyle I(\rho) =A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2·\cos\left[k(D+2f) - k\sqrt{\left(D- \frac{2}{3}f\right)^2 + \rho^2}\right] \)
Si consideramos puntos en un pequeño entorno de \( z \), cómo es \( D>>\rho\quad y\quad D>>f \), tenemos:
    \( \displaystyle\begin{array}{l}
    \sqrt{\left(D - \frac{2}{3}f\right)^2 + \rho^2} = \sqrt{D^2\left(1 - \frac{2f}{3D}\right)^2 + \rho^2} = \sqrt{\rho^2 + D^2\left(1 - \frac{4f}{3D}\right)}\simeq \\
     \\
    \simeq \sqrt{\rho^2 + D^2 - \frac{4}{3}fD}\simeq D\sqrt{1 + \frac{\rho^2}{D^2} - \frac{4}{4}·\frac{f}{D}} \simeq D + \frac{\rho^2}{2D} - \frac{2}{3}f
    \end{array} \)
Y sustituyendo en la expresión anterior:
    \( \displaystyle I(\rho) = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos \left[k\left(\frac{8}{3}f - \frac{\rho^2}{2D}\right)\right] \)
Habrá máximos cuando se tenga:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} k\left(\frac{8}{3}f - \frac{\rho^2}{2D}\right)= 2m\pi \\  \\ m= 0, \pm 1, \pm 2, \cdots \Rightarrow \rho_\max = \sqrt{\frac{16}{3}fD - 2mD∑\lambda} \end{array} \)
Y la separación entre dos máximos consecutivos será:
    \( \displaystyle \rho_{m-1} - \rho_m = 2\sqrt{\frac{D}{k}}\left[\sqrt{\frac{4}{3}fk- (m-1)\pi} - \sqrt{\frac{4}{3}fk- m\pi}\right] \)
Por lo que la figura de interferencias estará formada por círculos consecutivos en torno a \( z \) y tal que la diferencia entre los radios de los dos anillos consecutivos será haciendo más pequeña a medida que nos alejamos del centro.

EJERCICIOS RESUELTOS DE ÓPTICA Y ONDAS


tema escrito por: José Antonio Hervás