PROBLEMAS RESUELTOS DE ÓPTICA
Estudiar la figura de interferencias obtenida con un dispositivo
interferencial de tipo Young, pero utilizando tres rendijas idénticas
colocadas formando un triángulo equilátero de lado
\( l \).
RESPUESTA DEL EJERCICIO 8
Por un punto P ver plano de observación, los distintos
caminos ópticos que pueden recorrer una onda a partir de
los distintos focos secundarios son, \( S_1P,S_2P, S_3P\), y las
diferencias de camino entre cada dos de ellas, teniendo en cuenta
la figura auxiliar, valen:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
\Delta_{21} = S_2P - S_1P =\\
\\= \sqrt{D^2 + \left(y+\frac{l}{2\sqrt{3}}\right)^2
+ \left(x+\frac{l}{2}\right)^2} - \sqrt{D^2 + \left(y-\frac{l}{\sqrt{3}}\right)^2
+ x^2} \\
\\
\Delta_{31} = S_3P - S_1P =\\
\\= \sqrt{D^2 + \left(y+\frac{l}{2\sqrt{3}}\right)^2
+ \left(x-\frac{l}{2}\right)^2} - \sqrt{D^2 + \left(y-\frac{l}{\sqrt{3}}\right)^2
+ x^2} \\
\\
\Delta_{23} = S_2P - S_3P =\\
\\= \sqrt{D^2 + \left(y+\frac{l}{2\sqrt{3}}\right)^2
+ \left(x+\frac{l}{2}\right)^2} - \sqrt{D^2 + \left(y+\frac{l}{\sqrt{3}}\right)^2
+ \left(x-\frac{l}{2}\right)^2}
\end{array} \)
Si consideramos las mismas aproximaciones que en el estudio
de las franjas de Young con dos rendijas tenemos:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
S_1P = D\left[1 + \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}y - l}{\sqrt{3}·D}\right)^2+
\frac{1}{2}\left(\frac{x}{D}\right)^2\right] \\
\\
S_2P = D\left[1 + \frac{1}{2}\left(\frac{2\sqrt{3}y + l}{2\sqrt{3}·D}\right)^2+
\frac{1}{2}\left(\frac{2x+l}{2D}\right)^2\right] \\
\\
S_3P = D\left[1 + \frac{1}{2}\left(\frac{2\sqrt{3}y + l}{2\sqrt{3}·D}\right)^2+
\frac{1}{2}\left(\frac{2x-l}{2D}\right)^2\right]
\end{array} \)
Y a partir de ahí resulta:
\( \displaystyle \Delta_{21} = \frac{l(\sqrt{3}y+x)}{2D}\; ;
\;\Delta_{31} = \frac{l(\sqrt{3}y-x)}{2D}\;;\; \Delta_{23}=
\frac{x·l}{D}\)
En el caso de la superposición de las tres ondas coherentes,
tenemos:
\( I_p = I_1 + I_2 + I_3 + 2\sqrt{I_1I_2}·\cos \delta_{21}+
2\sqrt{I_1I_3}·\cos \delta_{31}+ 2\sqrt{I_2I_3}·\cos
\delta_{23} \)
Y recordando que:
\( \delta_{ij} = k·\Delta_{ij}
\)
Nos queda:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
I_p = I_1 + I_2 + I_3 + 2\sqrt{I_1I_2}·\cos \frac{k·l(\sqrt{3}y+x)}{2D}+\\
\\
+ 2\sqrt{I_1I_3}·\cos \frac{k·l(\sqrt{3}y-x)}{2D}+
2\sqrt{I_2I_3}·\cos \frac{k·l·x}{D}
\end{array} \)
Sí las tres rendijas son iguales podemos escribir:
\( I_1 = I_2 = I_3 = I_o\)
Y nos quedaría:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
I_p = I_o\left(3 + 2·\cos \frac{kl(\sqrt{3}y+x)}{2D}
+ 2·\cos \frac{kl(\sqrt{3}y-x)}{2D}+ 2·\cos \frac{klx}{D}\right)=
\\
\\
I_o\left[3 + 4·\cos\frac{kl\sqrt{3}y}{2D}·\cos
\frac{klx}{2D}+ 2\left(2\cos^2\frac{klx}{2D} - 1\right)\right]=
\\
\\
= I_o\left[1+4·\frac{klx}{2D}\left(\cos \frac{kl\sqrt{3}y}{2D}+
\cos \frac{klx}{2D}\right)\right]
\end{array} \)
Los máximos de interferencia
se tendrán cuando se
cumpla simultáneamente:
\( \displaystyle \cos \frac{kl\sqrt{3}y}{2D} = 2m\pi\qquad ;
\qquad \cos \frac{klx}{2D} = 2m\pi \)
A la vez habrá otros máximos secundarios sobre el
eje X, dados por:
\( \displaystyle \cos \frac{klx}{2D} = 2m\pi\quad ; \quad \textrm{con}
-1\leq \cos \frac{kl\sqrt{3}y}{2D} \leq 1 \)
Los mínimos nulos se tendrán para:
\( \displaystyle \cos \frac{klx}{2D} = (2m+1)\pi \)
