PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de mecánica cuántica y física atómica

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Ejercicios de Mecánica cuántica

Si

Respuesta del ejercicio 80

Para una mejor comparación con los resultados obtenidos en teoría para el pozo típico de potencial, colocamos el Origen en el centro del pozo y situamos los extremos en \( -b/2\; y \; +b/2 \).
A continuación, dividimos el pozo en tres zonas, según el esquema; de ellas, la zona I es una zona permitida, tanto en mecánica clásica como en cuántica. La zona II es zona prohibida en clásica pero permitida en cuántica, y la zona III es una zona prohibida, tanto en clásica como en cuántica.

pozo de potencial

El problema nos pide en concreto estudiar las funciones correspondientes a estados estacionarios ligados, lo que significa que tenemos que estudiar el caso para estados de energía negativa, E < 0.
ZONA I.- la ecuación de Schrödinger para la zona I es:

    \( \displaystyle \frac{\hbar^2}{2}·\frac{d^2\varphi}{dx^2} - V_o·\varphi = E·\varphi \Rightarrow \frac{\hbar^2}{2}·\frac{d^2\varphi}{dx^2} = (E + V_o)\varphi \)
Y la solución de esta ecuación es del tipo:
    \( \displaystyle \varphi^I = A·\sin kx + B·\cos kx \quad ; \quad donde \; k = \frac{\sqrt{2m(E+V_o)}}{\hbar} \)
ZONA II.- la ecuación de Schrödinger para esta zona es:
    \( \displaystyle \frac{\hbar^2}{2}·\frac{d^2\varphi}{dx^2}= E·\varphi \Rightarrow \varphi^{II}= Ce^{ik'x}+De^{-ik'x}\quad ; \; con\:k' = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} \)
Cómo estamos considerando funciones correspondientes a estados estacionarios ligados para los cuales E < 0, k' es un número imaginario. Vamos a hacer entonces el cambio k' = i·r, siendo r una función real, con lo que la situación nos quedará en la forma:
    \( \varphi^{II}= C·e^{-rx}+D·e^{rx} \)
Pero resulta que cuando \( x \rightarrow \infty \) el término \( D·e^{r·x} \) diverge. Como la función no nos puede de verger, se tendrá D = 0, y la solución quedará finalmente:
    \( \varphi^{II}= C·e^{-rx} \)
Podemos plantear ahora las condiciones de contorno para conocer el valor de las constante. Por la primera condición, las funciones de onda I y II tienen que coincidir en b/2. Por la segunda, derivadas en dicho punto, b/2, han de ser iguales, tiene que haber continuidad en las pendientes. Finalmente, debido a que tenemos una barrera infinita qué hace que la zona III sea prohibida y en ella no exista función de honda, la función de onda I ha de ser cero en-b/2. Todo esto nos da:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    a)\quad \varphi^I\left(\frac{b}{2}\right) = \varphi^{II}\left(\frac{b}{2}\right) \\
     \\
    b)\quad (\varphi^I)'\left(\frac{b}{2}\right) = (\varphi^{II})'\left(\frac{b}{2}\right) \\
     \\
    c)\quad \varphi^I\left(-\frac{b}{2}\right) = 0
    \end{array} \)
Y teniendo en cuenta las correspondientes funciones de onda:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    A·\sin k \left(\frac{b}{2}\right) + B·\cos k \left(\frac{b}{2}\right) = C·e^{-r·b/2} \\
     \\
    k·A·\cos k \left(\frac{b}{2}\right) - k·B·\sin k \left(\frac{b}{2}\right) = -r·C·e^{-r·b/2} \\
     \\
    A·\sin k \left(\frac{b}{2}\right) + B·\cos k \left(\frac{b}{2}\right) = 0
    \end{array} \)
De la condición C obtenemos directamente:
    \( \displaystyle A·\sin k \left(\frac{b}{2}\right) + B·\cos k \left(\frac{b}{2}\right) = 0\Rightarrow B = \frac{A·\sin k \left(\frac{b}{2}\right)}{\cos k \left(\frac{b}{2}\right)}\quad(1) \)
Y sustituyendo (1) en la segunda condición:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    A·\sin k \left(\frac{b}{2}\right) + A\frac{\sin k \left(\frac{b}{2}\right)}{\cos k \left(\frac{b}{2}\right)}·\cos k \left(\frac{b}{2}\right)= C·e^{-r·b/2} \Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow 2A ·\sin k \left(\frac{b}{2}\right) = C·e^{-r·b/2}
    \end{array}\)
Y operando con esta expresión:
    \( \displaystyle kA·\frac{\cos^2 k \left(\frac{b}{2}\right)- 1 + \cos^2 k \left(\frac{b}{2}\right)}{\cos k \left(\frac{b}{2}\right)} = -r·C·e^{-r·b/2}\qquad (3) \)
Dividiendo este resultado entre el obtenido anteriormente para relacionar A y C:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    kA·\frac{2\cos^2 k \left(\frac{b}{2}\right)- 1 }{\cos k \left(\frac{b}{2}\right)} : 2A·\sin k \left(\frac{b}{2}\right) = -r·C·e^{-r·b/2} : C·e^{-r·b/2} \Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow \frac{k}{2}·\frac{2·\cos^2 k\left(\frac{b}{2}\right)- 1}{\cos \left(\frac{kb}{2}\right)\sin\left(\frac{kb}{2}\right) } = -r
    \end{array} \)
Pero teniendo en cuenta las expresiones trigonometricas:
    \( \displaystyle 2·\cos^2 k\left(\frac{b}{2}\right)= 1 + \cos k·b \quad ; \quad 2·\cos \left(\frac{kb}{2}\right)\sin\left(\frac{kb}{2}\right) = \sin k·b \)
Nos queda finalmente:
    \( \displaystyle k·\frac{1 + \cos k·b - 1}{\sin k·b} = -r \Rightarrow k·\cot k·b = -r\quad (*) \)
Teniendo en cuenta los valores de k y r, de la relación entre ellas podemos obtener una fórmula de cuantificación de la energía. Esta relación se puede resolver por métodos gráficos. La ecuación (*) podemos multiplicarla por b para obtener:
    \( b·k·\cot\cot b·k = - b·r \)
Por otra parte, del valor de cada una de ellas tenemos:
    \( \displaystyle k = \frac{\sqrt{2m(E+V_o)}}{\hbar} \;;\; r = \frac{\sqrt{2mE}}{i\hbar}\Rightarrow (bk)^2 + (br)^2 = \frac{2m·V_ob^2}{\hbar^2} \)

Qué es la ecuación de una circunferencia de radio

    \( \displaystyle R = \frac{b}{\hbar}\sqrt{2m·V_o} \)
EJERCICIOS DE MECÁNICA CUÁNTICA - EJERCICIOS DE FÍSICA ATÓMICA
 
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Página publicada por: José Antonio Hervás