PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de mecánica cuántica y física atómica

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Ejercicios de Mecánica Cuántica

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Ejercicios de Mecánica cuántica

Si

Respuesta del ejercicio 79
El valor medio del momento se calcula por la expresión:
    \( \displaystyle \bar{p}= \langle \psi , \hat{p}\psi \rangle = - \int (\psi^* , i\hbar·\nabla \psi)dr\qquad , ya\;que\; \hat{p} = - i\hbar·\nabla\psi \)
Cómo se trata de un Estado estacionario, leemos poner la función de onda en la forma:
    \( \psi(r,t) = \varphi(\vec{r})·e^{-i(E/\hbar)t} \)
Para simplificar vamos a resolver el problema de una sola dimensión, con ello:
    \( \displaystyle \bar{p}_x = \langle \psi , - i\hbar·\frac{\partial}{\partial x}\psi \rangle = - \int_{-\infty}^{+\infty}\psi^*·i\hbar·\frac{\partial \psi}{\partial x}dx = - i\hbar \int_{-\infty}^{+\infty}\psi^*\frac{\partial \psi}{\partial x}dx \)
Donde el exponencial temporal se ha eliminado al multiplicarlo por su complejo conjugado. Para resolver la integral lo hacemos por partes y escribiendo:
    \( \displaystyle u = \varphi^* \Rightarrow du = \frac{d\varphi^*}{dx}dx\quad ; \quad dv = \frac{d\varphi}{dx}dx \Rightarrow v = \varphi \)
Y a partir de ahí:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \bar{p}_x = - i\hbar\left[\varphi \varphi^* -\int \varphi \frac{d\varphi^*}{dx}\right]_{-\infty}^{+\infty}= - i\hbar\left[\varphi \varphi^* \right]_{-\infty}^{+\infty} + i\hbar\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi\frac{d\varphi^*}{dx}dx = \\
     \\
    - \langle - i\hbar\frac{\partial \varphi}{\partial x}, \varphi\rangle = - \langle \bar{p}\varphi, \varphi\rangle
    \end{array} \)
Y esto es así, el término
    \( \displaystyle \left[\varphi \varphi^* \right]_{-\infty}^{+\infty} \)
Tiende a cero, al ser un estado ligado, se verifica que \( \lambda\rightarrow 0 \) para \( +\infty \; y\; -\infty \) (por definición).
Por otro lado, de problemas anteriores tenemos el resultado de que el operador \( \hat{p} \) es hermítico. Por todo ello, considerando esta propiedad nos queda:
    \( \displaystyle \langle \psi , \hat{p}\psi\rangle = \langle \psi , p\psi\rangle \Rightarrow \bar{p} = - \bar{p} \Rightarrow 2·\bar{p} = 0 \Rightarrow \bar{p} = 0 \)
Y queda demostrado lo que nos propongamos.
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Página publicada por: José Antonio Hervás