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DE FÍSICA
ejercicios resueltos de mecánica cuántica y física atómica

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Ejercicios de Mecánica cuántica

Si

Respuesta del ejercicio 78
Sabemos que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es:
    \( \displaystyle - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \varphi(r) = (E-V)\varphi (r) \qquad (\ast) \)
Lo que vamos a hacer es sustituir la función de onda del enunciado en la expresión (*) para ello, primer lugar calculamos en la plaza no en coordenadas esféricas es:
    \( \displaystyle \nabla^2 \phi = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2·\frac{\partial \phi}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin \theta}·\frac{\partial^2 \phi}{\partial\varphi^2}+ \frac{1}{r^2\sin \theta}·\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial \phi}{\partial \theta}\right) \)
En nuestro caso, función solo depende de r, por tanto:
    \( \displaystyle \nabla^2 \varphi( \vec{r}) = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2·\frac{\partial \varphi}{\partial r}\right) = - \frac{k^2}{r}\left(e^{-ikr + b·e^{ikr}}\right) \)
Y sustituyendo este resultado en la ecuación de Schrödinger:
    \( \displaystyle \frac{k^2}{r}\left(e^{-ikr + b·e^{ikr}}\right) = (E-V)·\frac{1}{r}\left(e^{-ikr + b·e^{ikr}}\right)\Rightarrow E = \frac{\hbar^2k^2}{2m} + V \)
Puesto que se trata de un Estado estacionario, la energía total de la partícula es constante; en consecuencia, al ser \( (\hbar k^2/2m) \) una constante, un poco variará en potencial V y la partícula será una partícula libre.
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Página publicada por: José Antonio Hervás