PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de mecánica cuántica y física atómica

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Ejercicios de Mecánica cuántica

Si

Respuesta del ejercicio 77
Clásicamente, valor medio de p es cero, dada la forma del potencial y teniendo en cuenta el intervalo en el que se calcula: Cuando la partícula viaja de izquierda a derecha la velocidad tiene signo opuesto al correspondiente a un movimiento de derecha a izquierda. Tenemos entonces, \( \bar{p} \).
Para el valor medio de \( p^2 \) se obtiene la expresión 2m·E, pero veamos cómo sale esta:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \bar{p^2} = \frac{ \displaystyle \int_{0}^{a}\left(\frac{m^2\dot{x}^2}{\dot{x}}\right)dx-\int_{a}^{0}\left(\frac{m^2\dot{x}^2}{\dot{x}}\right)dx }{ \displaystyle \int_{0}^{a}\left(\frac{1}{\dot{x}}\right)dx-\int_{a}^{0}\left(\frac{1}{\dot{x}}\right)dx} = \frac{ \displaystyle \left.m^2\dot{x}·x\right]_{0}^{a}- \left.m^2\dot{x}·x\right]_{a}^{0}}{ \displaystyle \left.\left(\frac{x}{\dot{x}}\right)\right]_{0}^{a}- \left.\left(\frac{x}{\dot{x}}\right)\right]_{a}^{0} }= \\
     \\
    = \frac{2m^2 \dot{x}·a}{2a/\dot{x}} = m^2·\dot{x}^2 = 2m·E = \bar{p^2}
    \end{array} \)
Tenemos entonces para el valor de la incertidumbre:
    \( \triangle p = \sqrt{\bar{p^2}- \bar{p}^2} = \sqrt{2m·E} \)
Para el caso cuántico, valor medio del momento se obtiene a partir del producto escalar:
    \( \displaystyle \bar{p} = (\psi , \hat{p}·\psi)\quad ; \quad con\; \hat{p} = - i\hbar \left(\frac{\partial}{\partial x}\right)\)
Por lo tanto, teniendo en cuenta que para la función de onda de una partícula habíamos deducido la expresión:
    \( \displaystyle \psi_n = \sqrt{(2/a)}·\sin \left(\frac{\pi n}{a}\right)x·e^{-i(E_n/\hbar)t} \)
Podremos escribir:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \bar{p}= \int_{0}^{a} \sqrt{\frac{2}{a}}·\sin \left(\frac{\pi n}{a}\right)x·e^{i(E_n/\hbar)t}(-i\hbar)\sqrt{\frac{2}{a}}\frac{\pi n}{a}\cos \left(\frac{\pi n}{a}\right)x·e^{-i(E_n/\hbar)t}dx = \\
     \\
    = - \frac{2}{a}\frac{n \pi}{a}·i\hbar \int_{0}^{a} \sin\left(\frac{\pi n}{a}\right)x·\cos\left(\frac{\pi n}{a}\right)x·dx = - \left. \frac{1}{a}(i\hbar)\sin^2\left(\frac{\pi n}{a}\right)x\right]_{0}^{a} = 0
    \end{array} \)
Por otra parte, para el valor medio del cuadrado del momento tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \bar{p^2}= \int_{0}^{a} \sqrt{\frac{2}{a}}·\sin \left(\frac{\pi n}{a}\right)x·e^{i(E_n/\hbar)t}\hbar^2\sqrt{\frac{2}{a}}\frac{\pi^2 n^2}{a^2}\sin \left(\frac{\pi n}{a}\right)x·e^{-i(E_n/\hbar)t}dx = \\
     \\
    = - \frac{2}{a}·\frac{\hbar^2 n^2 \pi^2}{a^2} \int_{0}^{a} \sin^2\left(\frac{\pi n}{a}\right)x·dx = \frac{\hbar^2 n^2 \pi^2}{a^3} \int_{0}^{a}\left[1-\cos \frac{2n \pi}{a}x\right]dx = \\
     \\
    = \frac{\hbar^2 n^2 \pi^2}{a^3}\left[x - \frac{a}{2n\pi}·\sin \frac{2n\pi}{a}x\right]_{0}^{a}= \frac{\hbar^2 n^2 \pi^2}{a^2}
    \end{array} \)
Pero sabemos que la energía de un determinado nivel cuántico viene dada por:
    \( \displaystyle E_n = \frac{\hbar^2 n^2 \pi^2}{a^2}\qquad (\ast) \)
Con lo que teniendo en cuenta este valor, nos queda:
    \( \bar{p^2} =2m·E_n \)
Y para el valor de la incertidumbre:
    \( \triangle p = \sqrt{\bar{p^2}- \bar{p}^2} = \sqrt{2m·E_n} \)
Aunque en un principio lo parezca, 2 expresiones obtenidas no contienen la misma información, pues la energía en el caso clásico puede tomar cualquier valor y en el problema cuántico está cuantizada según la expresión (*)
EJERCICIOS DE MECÁNICA CUÁNTICA - EJERCICIOS DE FÍSICA ATÓMICA
 
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Página publicada por: José Antonio Hervás