PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de mecánica cuántica y física atómica

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Ejercicios de Mecánica cuántica

Si

Respuesta del ejercicio 76

1º) escalón de potencial.- en este caso, coeficiente de reflexión,R, vale 1. Sin embargo existe alguna probabilidad de que la partícula pase a la región en que x > 0.

escalón de potencial

Esta probabilidad viene dada por:

    \( \displaystyle \varphi_2^*\varphi_2 = D^*D·e^{-2k_2x}\quad ;\quad con \; k_2 = \frac{1}{\hbar}\sqrt{2m(V_o-E)} \)
La distancia de penetración máxima es del orden de:
    \( \displaystyle \triangle x = \frac{1}{k_2} \)
Ya que para
    \( \displaystyle x > \frac{1}{k_2} \)
La posibilidad de crecer muy rápidamente:
    \( \displaystyle \triangle x = \frac{\hbar}{\sqrt{2m(V_o-E)}} \)
El límite clásico:
    \( 2m(V_o - E)>>\hbar \)
Con lo que \( \triangle x \rightarrow 0 \).

2º) escalón de potencial con \( E > V_o \).- con independencia del sentido de incidencia de la partícula tenemos:

    \( \displaystyle T = \frac{4K_1K_2}{(K_2+K_1)^2}\quad ; \quad R = \frac{(K_2-K_1)^2}{(K_2+K_1)^2} \)
Y resulta que R y T no dependen del aumento o disminución de V, si no del cambio brusco de V(x). Para encontrar el límite clásico ponemos:
    \( \displaystyle R = \left(\frac{1-\sqrt{1 - (V_o/E)}}{1-\sqrt{1 - (V_o/E)}}\right)^2
    \)
A hacer E >> 0 obtenemos R = 0, pero este no es el límite clásico, ya que E y V pueden ser del mismo orden y microscópicas resultando entonces R > 0.
Hemos dicho que R y T pueden variar debido a cambios bruscos de V(x). Este cambio de V(x) implica un cambio de K y, por consiguiente un cambio del momento, p. Pero, por De Broglie, la partícula sabemos que tiene asociada una longitud de onda dada por:
    \( \displaystyle \lambda = \frac{\hbar}{\sqrt{2m(V_o-E)}} \)

Con esto podemos decir que R depende del cambio brusco de la longitud de onda de De Broglie tiende a cero, cambio de un potencial real con longitud de onda será graduar, en consecuencia, clásicamente = 0.

escalón de potencial

3º) caja de potencial con \( E <V_o \) .- en un problema anterior hemos visto que se tiene:

    \( \displaystyle T =\left(1 + \frac{Sh^2K_2·a}{4(E/V_o)[1-(E/V_o)]}\right)^{-1} \)
Siendo:
    \( \displaystyle K_2a = \sqrt{\frac{2m·V_oa^2[1-(E/V_o)]}{\hbar^2}} \)
Y si \( K_2a>>1 \) tenemos el valor:
    \( \displaystyle T = 16\left(\frac{E}{V_o}\right)\left[1 - \left(\frac{E}{V_o}\right) \right]e^{-2K_2a} \)
Pero desde el punto de clásico el término \( 2m·a^2/\hbar^2 \) tiende a \( \lambda \) y por tanto T a 0.

4º) caja de potencial, \( E>V_o \). Tal como hemos tenido en los otros casos, sí demuestra:

caja de potencial

    \( \displaystyle T =\left(1 + \frac{Sh^2K_3·a}{4(E/V_o)[(E/V_o)-1]}\right)^{-1} \)
Dónde \( K_3a \) vale:
    \( \displaystyle K_3a = \sqrt{\frac{2m·V_o·a^2}{\hbar^2}\left(\frac{E}{V_o}-1\right)} \)
En estas condiciones tendremos que T vale 1 cuándo se cumple \( K_3a = n·\pi \) , es decir:
    \( \displaystyle T = 1 , si\:K_3a = \pi , 2\pi, 3\pi ... \Rightarrow a = n·\frac{\pi}{K_3} \)
Puesto que la longitud de onda de De Broglie de la partícula viene dada por:
    \( \displaystyle \lambda = 2·\frac{\pi}{K_3} \Rightarrow a = n·\frac{\lambda}{2} \)
En este caso, T = 1 y es consecuencia de una interferencia constructiva entre las reflexiones en x = 0 y x = a. Cómo clásicamente \( \lambda\rightarrow 0 \), siempre se podrá poner:
    \( \displaystyle a = n·\frac{\lambda}{2} \Rightarrow T = 1 \)
Y llegamos a la aproximación clásica.

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Página publicada por: Josť Antonio HervŠs