Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Resolver la ecuación diferencial ordinaria:

\((2y^2 - 4x+5)dx + (4-2y+4xy)dy= 0\)

Respuesta al ejercicio 8

En primer lugar comprobamos si la ecuación diferencial es exacta ;

\( \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial }{\partial y}(2y^2-4x+5) = 4y \; ; \; \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial }{\partial x} (4-2y+4xy) = 4y\)

Puesto que se verifica la condición necesaria y suficiente para que la anterior ecuación sea diferencial exacta, podemos hacer :

\( U_x = P = 2y^2 - 4x + 5 \Rightarrow U(x, y) = 2y^2x - 2x^2 + 5x + \varphi (y) \)

Derivando la última expresión respecto de la variable y e igualando a Q, tenemos :

\( U_y = 4xy + \varphi' (y) = 4 - 2y + 4xy \; ; \; \varphi' (y) = 4 - 2y \; ; \; \varphi (y) = 4y - y^2 \)

De ese modo, la solución general de la ecuación estudiada será :

\( U(x, y) = 2y^2x - 2x^2 + 5x + 4y - y^2 = C \)