Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Resolver la ecuación diferencial :

\( \displaystyle \left(x + \frac{2}{y}\right)·dx + y·dx = 0 \)

Respuesta al ejercicio 7

Lo primero que hacemos es comprobar si la ecuación es diferencial exacta :

\( \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial }{\partial y}(y) = 1 \; ; \; \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial }{\partial x} \left(x + \frac {2}{y} \right) = 1\)

Según eso, tenemos :

\( P = U_x = y \Rightarrow U(x, y) = \int y·dx + \varphi(y) = y·x + \varphi (y) \)

El valor de \(\varphi (y)\) se obtiene por :

\( \displaystyle \frac{\partial }{\partial y} \left[y·x + \varphi (y)\right] = x + \varphi'(y) = x + \frac{2}{y} \; ; \; \varphi'(y) = \frac{2}{y} \Rightarrow \varphi(y) = \ln y^2 \)

Con lo que, finalmente, resulta :

\( U(x, y) = y · x + \ln y^2 = C \)