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DE FÍSICA
ejercicios de física de semiconductores

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Ejercicios de física de semiconductores

Partiendo de la expresión:

    \( \displaystyle \epsilon = \frac{V_G - V_{th}- V(x)}{x_o} \)
Para un transistor MOS de canal n y modo de enriquecimiento, deducir paso a paso la expresión:
    \( \displaystyle I_D = \frac{Z}{L}ˇ\mu_{ns}ˇC_o \left[(V_G - V_{th})V_D - \frac{1}{2}V_D^{\;2}\right] \)


Respuesta al ejercicio 87

Una de las hipótesis de partida en el estudio de un dispositivo MOS ideal canal n es que los pseudo niveles de fermi de la estructura cumplen:
    \( \phi_p (x,y) = Cte.\quad ; \quad \phi_n(x,y) = \phi_p + V(y)i \)
En base a esta hipótesis se tiene que la densidad de corriente total que circula a lo largo del canal de deflexión tiene solo componente en la dirección y, y es de vida solo a los electrones para los que se cumple:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \vec{J}_n = q·\mu_n·n·\varepsilon = - q·\mu_n·n·\nabla \phi_n (y) = \\
     \\
    = - q·\mu_n·n·\frac{dV}{dy}
    \end{array} \)
Según eso, el flujo a través de una superficie normal al canal es constante y podrá calcularse en cualquier plano y = cte. Para obtener a través de ellos la corriente de drenador \( I_D \). Sí Z es la anchura del canal, podemos escribir:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    I_D = Z \int_{0}^{x(y)}J_{ny}(x)dx = - Z\int_{0}^{x}q·\mu_n·n(x,y)\frac{dV}{dy}dx= \\
     \\
    = q·Z\mu_n\left[\int_{0}^{x} n(x,y)dx\right]\frac{dV}{dy}
    \end{array} \)
El término entre corchetes es la carga total por unidad de área que aparece inducida en una capa estrecha de la region de deplexión por lo que podemos escribir:
    \( \displaystyle I_D = Z·\mu_n·Q_n·\frac{dV}{dy} \)
Si integramos ahora a lo largo de todo el canal, resulta:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \int_{0}^{L}I_D·dy = - Z·\mu_n\int_{0}^{V_D}Q_n·dV \Rightarrow\\
     \\
    \Rightarrow I_D = - \frac{Z·\mu_n}{L} \int_{0}^{V_D}Q_n(y)·dV(y) \qquad (*) \end{array} \)
Por otro lado, a la polarizacion de puerta, en cada punto de un plano de deflexión del canal se origina un campo eléctrico de sentido semiconductor - fuente. Este campo es uniforme y se obtiene a partir de la ley de Gauss:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{d\varepsilon}{dx} = - \frac{\rho(x,y)}{\epsilon_{ox}} \Rightarrow \int_{0}^{\varepsilon(y)}d\varepsilon = -\int_{0}^{x_o} \frac{\rho(x,y)}{\epsilon_{ox}}dx \\
     \\
    \varepsilon (y) = - \frac{Q_n(y)}{\epsilon_{ox}}
    \end{array} \)
Si sabemos por otro lado que el valor del campo eléctrico en esas condiciones es el dado en el enunciado, tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \varepsilon(y) = \frac{V_G - V_{th}- V(y)}{x_o} = -\frac{Q_n(y)}{\epsilon_{ox}} \Rightarrow\\
     \\
    \Rightarrow Q_n(y) = - C_o[(V_G - V_{th}) - V(y)]
    \end{array} \)
Y sustituyendo el valor de \( Q_N(y) \) en la ecuación (*):
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    I_D = \frac{Z\mu_n·C_o}{L}\int_{0}^{V_D}[(V_G - V_{th}) - V(y)]dy = \\
     \\
    = \frac{Z\mu_n·C_o}{L}\left[(V_G - V_{th})V_D - \frac{1}{2}V_D^2\right]
    \end{array} \)
Tal como queríamos demostrar.

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Página publicada por: José Antonio Hervás