consideremos el sistema de ecuaciones
lineales:
\( \begin{array}{l}
x"_1 + x"_2 - 3·x'_2 - x_1 + 2·x_2
= 0 \\
\\
x'_1 + 2·x'_2 + 2·x_1 - 4·x_2 = 0
\end{array} \)
Que podemos poner en la forma:
\( \begin{array}{l}
(D^2+D-1)x_1 + (D^2-3D+2)x_2 = 0 \\
\\
(D+2)x_1+(2D-4)x_2 = 0
\end{array} \)
Para eliminar \( x_1 \) multiplicamos la primera ecuación
por \( (D+2) \) y la segunda por \( (D^2 + D + 1)\) y restamos:
\( \begin{array}{l}
\left[(D+2)(D^2-3D+2) - (D^2+D-1)\right]x_2 = 0 \Rightarrow
\\
\\
\Rightarrow(D^3 - D^2 - 2D)x_2 = 0
\end{array}\)
Las raíces del polinomio auxiliar son \( r_1 = 0 \:
, \: r_2 = 2 \: ,\: r_3 = -1 \) con lo cual podemos poner.
\( x_2(t) = C_1 + c_2·e^{2t} + C_3·e^{-t}
\)
Para obtener \( x_1 \) tomamos una de las ecuaciones del enunciado
(conviene la más sencilla) :
\( (D+ 2)x_1 = - (2D-4)x_2\)
Operando sobre la solución encontrada para \( x_2 \)
nos queda:
\( (D+2)x_1 = 4·C_1 + 6·C_3·e^{-t}
\)
La solución para la homogénea de esta ecuación
es :
\( x_{1h} = C_4·e^{-2t} \)
Para tener la solución general obtenemos una solución
particular por el método de variación de constantes:
\( x_{1p} = C_4(t)·e^{-2t} \Rightarrow x'_1 = C'_4(t)·e^{-2t}
- 2C_4(t)·e^{-2t} \)
A partir de ahí podemos poner:
\( \begin{array}{l}
C'_4·e^{-2t} = 4·C_1 + 6·C_3·e^{-t}
\Rightarrow \\
\\
\Rightarrow c'_4 = 4·C_1·e^{2t} + 6·C_3·e^t
\end{array}\)
E integrando:
\( C_4 = 2·C_1·e^{2t} + 6·C_3·e^t
\)
Con lo que resulta finalmente:
\( x_{1p} = \left(2C_1·e^{2t} + 6C_3·e^t\right)e^{-2t}
= 2·C_1 + 6·C_3·e^{-t} \)
Siendo la solución de la ecuación total:
\( x_1 = 2·C_1 + 6·C_3·e^{-t} + C_4·e^{-2t}
\)
Hemos dicho al principio que el orden de un sistema es igual
a la suma de los órdenes de las ecuaciones de dicho
sistema, tanto, estos casos el orden del sistema es 3 y, en
consecuencia solamente habrá tres constantes linealmente
independientes. Para encontrar la relación entre las
4 que tenemos sustituimos los valores de \( x_1 \; y \; x_2
\) en la ecuación que no hemos empleado para obtener
\( x_1 \):
\( \begin{array}{l}
(D^2 + D -1)\left(2C_1 + 6C_3e^{-t} + C_4·e^{-2t}\right)
+ \\
\\
+ (D^2 - 3D + 2)\left(C_1 + C_2·e^{2t} + C_3·e^{-t}\right)
= 0
\end{array} \)
Haciendo operaciones resulta:
\( C_4·e^{-2t} = 0 \Rightarrow C_4 = 0 \)
Con lo cual es sistema tendrá por soluciones:
\( \begin{array}{l}
x_1 = 2·C_1 + 6·C_3·e^{-t} \\
\\
x_2 = C_1 + C_2·e^{2t} + C_3·e^{-t}
\end{array} \)
Sistemas generales de ecuaciones diferenciales lineales