MONOGRAFIAS
MATEMÁTICAS

SISTEMAS
DE
ECUACIONES
DIFERENCIALES

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EJEMPLO RESUELTO DE S. DE E. D.

consideremos el sistema de ecuaciones lineales:
    \( \begin{array}{l}
    x"_1 + x"_2 - 3·x'_2 - x_1 + 2·x_2 = 0 \\
     \\
    x'_1 + 2·x'_2 + 2·x_1 - 4·x_2 = 0
    \end{array} \)
Que podemos poner en la forma:
    \( \begin{array}{l}
    (D^2+D-1)x_1 + (D^2-3D+2)x_2 = 0 \\
     \\
    (D+2)x_1+(2D-4)x_2 = 0
    \end{array} \)
Para eliminar \( x_1 \) multiplicamos la primera ecuación por \( (D+2) \) y la segunda por \( (D^2 + D + 1)\) y restamos:
    \( \left[(D+2)(D^2-3D+2) - (D^2+D-1)\right]x_2 = 0 \Rightarrow (D^3 - D^2 - 2D)x_2 = 0 \)
Las raíces del polinomio auxiliar son \( r_1 = 0 \: , \: r_2 = 2 \: ,\: r_3 = -1 \) con lo cual podemos poner.
    \( x_2(t) = C_1 + c_2·e^{2t} + C_3·e^{-t} \)
Para obtener \( x_1 \) tomamos una de las ecuaciones del enunciado (conviene la más sencilla) :
    \( (D+ 2)x_1 = - (2D-4)x_2\)
Operando sobre la solución encontrada para \( x_2 \) nos queda:
    \( (D+2)x_1 = 4·C_1 + 6·C_3·e^{-t} \)
La solución para la homogénea de esta ecuación es :
    \( x_{1h} = C_4·e^{-2t} \)
Para tener la solución general obtenemos una solución particular por el método de variación de constantes:
    \( x_{1p} = C_4(t)·e^{-2t} \Rightarrow x'_1 = C'_4(t)·e^{-2t} - 2C_4(t)·e^{-2t} \)
A partir de ahí podemos poner:
    \( C'_4·e^{-2t} = 4·C_1 + 6·C_3·e^{-t} \Rightarrow c'_4 = 4·C_1·e^{2t} + 6·C_3·e^t \)
E integrando:
    \( C_4 = 2·C_1·e^{2t} + 6·C_3·e^t \)
Con lo que resulta finalmente:
    \( x_{1p} = \left(2C_1·e^{2t} + 6C_3·e^t\right)e^{-2t} = 2·C_1 + 6·C_3·e^{-t} \)
Siendo la solución de la ecuación total:
    \( x_1 = 2·C_1 + 6·C_3·e^{-t} + C_4·e^{-2t} \)
Hemos dicho al principio que el orden de un sistema es igual a la suma de los órdenes de las ecuaciones de dicho sistema, tanto, estos casos el orden del sistema es 3 y, en consecuencia solamente habrá tres constantes linealmente independientes. Para encontrar la relación entre las 4 que tenemos sustituimos los valores de \( x_1 \; y \; x_2 \) en la ecuación que no hemos empleado para obtener \( x_1 \):
    \( \begin{array}{l}
    (D^2 + D -1)\left(2C_1 + 6C_3e^{-t} + C_4·e^{-2t}\right) + \\
     \\
    + (D^2 - 3D + 2)\left(C_1 + C_2·e^{2t} + C_3·e^{-t}\right) = 0
    \end{array} \)
Haciendo operaciones resulta:
    \( C_4·e^{-2t} = 0 \Rightarrow C_4 = 0 \)
Con lo cual es sistema tendrá por soluciones:
    \( \begin{array}{l}
    x_1 = 2·C_1 + 6·C_3·e^{-t} \\
     \\
    x_2 = C_1 + C_2·e^{2t} + C_3·e^{-t}
    \end{array} \)
Sistemas generales de ecuaciones diferenciales lineales
Monografía en catorce capítulos, primer capítulo:
Sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden
Capítulo siguiente
Sistemas generales de E.D.O.
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Página publicada por: José Antonio Hervás