SISTEMAS
DE ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
Un sistema de ecuaciones diferenciales
de primer orden es un sistema de varias ecuaciones simultáneas
de la forma:
\( \begin{array}{l}
y'_1 = f_1(x, y_1,y_2,..., y_n) \\
\\
y'_2 = f_2(x, y_1,y_2,..., y_n) \\
\\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots\cdots \cdots\\
\\
y'_n = f_n(x, y_1,y_2,..., y_n)
\end{array} \)
En un sistema de este tipo el número de ecuaciones
es igual al de variables sin contar la x.
De forma análoga se puede considerar sistemas de ecuaciones
de segundo orden que vienen expresadas mediante:
\(\begin{array}{l}
y"_1 = f_1(x, y_1,y_2,..., y_n, y'_1,y'_2,..., y'_n)
\\
\\
y"_2 = f_2(x, y_1,y_2,..., y_n, y'_1,y'_2,..., y'_n)
\\
\\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots
\\
\\
y"_n = f_n(x, y_1,y_2,..., y_n, y'_1,y'_2,..., y'_n)
\end{array} \)
Podemos generalizar estos conceptos considerando un sistema
de n ecuaciones simultáneas en n variables, en el cual
las ecuaciones pueden ser de orden cualquiera y no necesariamente
el mismo. Es necesario, luego, sistema sea normal, es decir,
la derivada de mayor orden de cada variable se presente solo
en una ecuación, además en el primer miembro
de la misma.
Y seguimos el orden de un sistema como la suma de los órdenes
de las ecuaciones de dicho sistema. Una simplificación
unificadora surgen el hecho de que un sistema arbitrario de
orden n puede escribirse como un sistema de n ecuaciones de
primer orden. Una ecuacion arbitraria de orden n se transforma
en un sistema de ecuaciones de primer orden introduciendo
las variables:
\(y' = y_2,..., y^{(n-1)} \)
Es decir:
\( \left.
\begin{array}{l}
y = y_1 \\
\\
y' = y_2 \\
\\
y" = y_3 \\
\\
\vdots \\
\\
y^{(n-1)} = y_n \\
\end{array}
\right\}\quad y^{(n)} = f(x,y,y',..., y^{(n-1)}) \Rightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
y'_1 = y_2 \\
\\
y'_2 = y_3 \\
\\
y'_3 = y_4 \\
\\
\vdots \\
\\
y'_n = f(x,y_1,y_2,..., y_n) \\
\end{array}
\right. \)
El mismo método de introducción de nuevas variables
es aplicable a un sistema cualquiera de orden n cómo
podemos ver en el siguiente ejemplo de dos ecuaciones simultáneas
de segundo orden:
\( y" = f(x,y,z,y',z')\qquad ; \qquad z" = g(x,y,z,y',z')
\)
Poniendo:
\( y_1 = y\: , \:y_2 = z\: ,\:y_3 = y'\: , \:y_4 = z' \)
Obtenemos un sistema de 4 ecuaciones de primer orden:
\( \begin{array}{l}
y'_1 = y_3 \\
\\
y'_2 = y_4 \\
\\
y'_3 = f(x,y_1,y_2,y_3,y_4) \\
\\
y'_4 = g(x,y_1,y_2,y_3,y_4)
\end{array} \)
Podemos decir entonces que todas las ecuaciones y sistemas
diferenciales pueden inscribirse como un sistema de ecuaciones
de primer orden. La distinción más importante
que se hace entre sistema ese que ella en que los distribuye
en sistemas lineales y no lineales. Más adelante veremos
los llamados sistemas lineales y los conceptos necesarios
para su comprensión.
Teorema de existencia para sistemas de ecuaciones
La existencia de solución de un sistema normal:
\( \begin{array}{l}
y'_1 = f_1(x,y_1,y_2,...,y_n) \\
\\
y'_2 = f_2(x,y_1,y_2,...,y_n) \\
\\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots
\\
\\
y'_n = f_n(x,y_1,y_2,...,y_n)
\end{array} \)
Correspondiente a unas condiciones iniciales prefijadas:
\( x_o\,,\,y_1^o\,,...,\,y_n^o \)
En un cierto entorno de \( x_o \), es decir, resistencia de
un arco de curva integral que pase por el punto \( (x_o\,,\,y_1^o\,,...,\,y_n^o)
\) se demuestra de forma análoga a la indicada para
las ecuaciones diferenciales de primero y segundo orden.
Empleando la notación vectorial podemos poner:
\( \left.
\begin{array}{l}
y_1(x_o) = y_1^o \\
\vdots \\
y_n(x_o) = y_n^o \\
\end{array}
\right\}\quad \vec{y}(x_o) = \vec{y}^o \)
Y decir que existirá una solución y solo una
del sistema (un conjunto \( \{y_i(x)\} \) ) si cada ecuación
cumple las siguientes condiciones:
1ª) cada \( f_i \) es continúa en un cerrado y
acotado que contenga al punto \( y_i \)
\( x_o - a \leq x \leq x_o + a \qquad ; \qquad y_i^o - b_i
\leq y_i \leq y_i^o + b_i \)
2ª) cada \( f_i\) es de variacion acotada, es decir:
\( \displaystyle |f_i(x,y_1,...,y_n)- f_i(x,y_1^*,...,y_n^*)|\leq
M_i\left(\sum_j^n |y_j - y_j^*|\right) \)
En particular, el método de Picard cómo límites
de sucesiones de funciones construidas del siguiente modo:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
y_i^1 = y_i^o + \int_{x_o}^{x}f_i(t,y_1^o,y_2^o,...,y_n^o)dt\qquad
i = 1,...,n \\
\\
y_i^2 = y_i^o + \int_{x_o}^{x}f_i(t,y_1^1,y_2^1,...,y_n^1)dt\qquad
i = 1,...,n \\
\\
y_i^3 = y_i^o + \int_{x_o}^{x}f_i(t,y_1^2,y_2^2,...,y_n^2)dt\qquad
i = 1,...,n
\end{array} \)
Y así sucesivamente.
Sistemas de dos ecuaciones
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