INTERACCIÓN ELÉCTRICA
CAPÍTULO 7.- ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LAS LÍNEAS
DEL CAMPO ELÉCTRICO
En cada punto del espacio alterado por un campo eléctrico
se puede definir un vector:
Que por ser los vectores intensidad de campo tangentes a las líneas
de fuerza en cada punto, tendrá la misma dirección
que el vector intensidad de campo E en ese punto.
Al tener ambos igual dirección, su producto vectorial será
nulo, por ser nulo el ángulo que forman Por consiguiente,
podemos poner:
\( \vec{E}\wedge \overrightarrow{ds} = (E_x \hat{i} + E_y \hat{j} + E_z \hat{k})\wedge (dx \hat{i} + dy \hat{j} + dz \hat{k}) = 0 \)
Considerando como se obtiene el producto vectorial de dos vectores,
las componentes de este vector valdrán:
\( E_y dz - E_z dy = 0 \; ; \; E_z dx - E_x dz = 0 \; ; \;E_x
dy - E_y dx = 0 \)
de donde podemos poner:
siendo esta última expresión la ecuación
diferencial de las líneas de fuerza,
FLUJO ELÉCTRICO
La definición de las líneas de fuerza es un intento
de materializar el campo eléctrico. Podríamos decir
que es un artificio físico matemático, con ciertas
limitaciones y convenios, para razonar sobre él y obtener
conclusiones que nos lleven a realidades puramente físicas.
Una vez definidas las líneas de fuerza vamos a determinar
el número de estas que atraviesan una superficie cualquiera
situada en el interior de un campo eléctrico.
Vamos a introducir así el concepto de flujo. Definiremos
el flujo a través de una superficie como el número
de líneas de fuerza que atraviesan dicha área.
Si aceptarnos esta definición sin ninguna restricción,
nos encontramos con el gran inconveniente de que por cada punto
de la superficie puede pasar una línea de fuerza, con lo
cual, al estar cualquier superficie compuesta de infinitos puntos,
estará a travesada por infinitas líneas.
El inconveniente anterior ha llevado a la necesidad de establecer
el convenio siguiente: Supondremos que por unidad de área
pasan tantas líneas de fuerza como indica el modulo del
vector intensidad de campo en dicha área. Admitido el convenio,
tomaremos corno valor del flujo Φ, que atraviesa
una superficie S, colocada perpendicularmente a las líneas
de fuerza de un campo uniforme E, como:
Generalmente, las líneas de fuerza no serán perpendiculares
a la superficie, con lo cual el vector tampoco será perpendicular
a ella. Para obtener el flujo real que la atraviesa en este nuevo
caso, descompondremos el vector E, según una dirección
tangente a la superficie y la dirección normal. El vector
Et representará la parte de flujo que no sale, y el vector
En la parte de flujo que si sale a través del área
S. Por lo tanto, la expresión del flujo saliente será:
donde α es el ángulo que forma con
la superficie la componente normal de E.
Si el campo no es uniforme y varia de un punto a otro tendremos
que recurrir a tomar áreas elementales, de manera que,
sobre ellas, la intensidad del campo permanezca constante. Por
lo tanto, la expresión del flujo elemental vendrá
dada por:
y el flujo total será:
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VECTORIAL DEL FLUJO
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