CÁLCULO
INFINITESIMAL VECTORIAL (capítulo 1)
CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES
Se llama campo a una región del espacio en la que hay definida
una cierta magnitud física tal que a cada punto del espacio
le corresponde una parte de esa magnitud física. Si dicha
magnitud es un vector, el campo es vectorial; si la magnitud es
escalar, el campo se llama campo escalar.
Si el campo es sólo función del punto y no del instante,
entonces se dice que el campo es estacionario. En física
también se denomina estacionario a un campo que varía
lentamente.
Los campos escalares se representan por superficies “iso”,
es decir, aquellas sobre las cuales la magnitud tiene el mismo
valor en todos los puntos. Estas magnitudes “iso”
se representan o dibujan a intervalos constantes de la magnitud.
Los campos vectoriales se representan por líneas de campo.
Las líneas de campo sn líneas tangentes en cada
punto al vector que representa el campo. Por ejemplo, si el campo
es el creado por el vector velocidad, las líneas son tangentes
en cada punto al vector velocidad en ese punto.
GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR
Sea R una región, Ø una magnitud definida en esa
región y Ø(x,y,z) el campo.
Se llama gradiente a un vector que tiene como componentes las
derivadas parciales de la función respecto del eje X, respecto
del eje Y y respecto del eje Z.
La derivada de una función nos indica la pendiente de la
tangente a la curva en ese punto. Podemos escribir:
\( \displaystyle y = f(x) ; y' = \lim_{\triangle x \rightarrow 0}\frac{\triangle f(x)}{\triangle x} \)
Si tenemos una función definida en el espacio, es decir,
que dependa de las tres variables espaciales, el vector gradiente
tendrá como componentes:
\( \displaystyle \frac{\delta \phi}{\delta x} = \lim_{\triangle x \rightarrow 0}\frac{\phi(x+\triangle x,y,z)- \phi(x,y,z)}{\triangle x} \)
Esta es la derivada parcial respecto a la variable x. En este
caso, el desplazamiento sólo se considera a lo largo del
eje x, quedando sin variar las variables y y z. También
se denomina derivada parcial en la dirección de x. Las
derivadas parciales respecto de las variables y y z tendrán
una forma similar a la dada para la variable x, siendo el vector
gradiente como sigue:
\( \displaystyle \overrightarrow{grad \phi} = \frac{\partial
\phi}{\partial x}·\hat{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y}·\hat{j}
+ \frac{\partial \phi}{\partial z}·\hat{k} \)
Si un campo admite en cada punto las derivadas parciales de la
función que define el campo respecto de los tres ejes coordenados,
tendremos definido el vector gradiente en cada punto del espacio.
Resumiendo, en un campo escalar tenemos definido un vector, llamado
gradiente, siempre que el campo admita en cada uno de sus puntos
las derivadas parciales respecto de las variables x, y, z.
DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN
Sea y = f(x), se define la diferencial de una función como:
\( \displaystyle dy = f'(x)·dx = f'(x)· \triangle
x\; ; \; f'(x) = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\)
Según las figuras tenemos:
\( \displaystyle f'(x)·dx = \frac{\sin x}{\cos x}(h·\cos x)
= dy = \) incremento de la función
Pero cuando Δx tiende a 0, en el límite se tiene:
Δf = Δy y, por lo tanto, la diferencial representa
el incremento de la función.
Si tenemos una función Ø de varias variables Ø(x,y,z),
dØ será la derivada de cada una de as variables
por dx, dy, dz, respectivamente. Pero estas derivadas son las
derivadas parciales y se tiene:
\( \displaystyle d \phi = \frac{\delta \phi}{\delta x}·dx +
\frac{\delta \phi}{\delta y}·dy + \frac{\delta \phi}{\delta
z}·dz \)
Si se tiene:
\( \delta \vec{\phi} = d\vec{l} = dx·\hat{i} + dy·\hat{j}
+dz·\hat{k} \)
Donde \(dx·\hat{i}\) es la proyección del vector
desplazamiento sobre el eje x e igualmente para las variables
y y z (\(dl\) = desplazamiento).
Al poner la fórmula:
\( \displaystyle d \phi = \frac{\delta \phi}{\delta x}·dx +
\frac{\delta \phi}{\delta y}·dy + \frac{\delta \phi}{\delta
z}·dz \)
Se indica que la variable de la función será la
variación que experimenta en un desplazamiento a lo largo
del eje X, más la que experimenta en un desplazamiento
a lo largo del eje Y e igualmente para el eje Z.
Se comprueba que:
\( d\phi = \overrightarrow{grad} \; \phi · d\vec{l} \)
Demostración:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
d \phi =\left( \frac{\delta \phi}{\delta x}·\hat{i} +
\frac{\delta \phi}{\delta y}·\hat{j} + \frac{\delta \phi}{\delta
z}·\hat{k}\right) (dx·\hat{i} + dy·\hat{j}
+ dz·\hat{k}) = \\
\\
\frac{\delta \phi}{\delta x}·dx + \frac{\delta \phi}{\delta
y}·dy + \frac{\delta \phi}{\delta z}·dz
\end{array} \)
Puesto que se tiene:
\( \hat{i}·\hat{i}= \hat{j}·\hat{j} = \hat{k}·\hat{k}
= 1 \)
Monografía en cuatro capítulos, CÁLCULO
INFINITESIMAL VECTORIAL Capítulo dos Gradientes
