CÁLCULO
INFINITESIMAL VECTORIAL (Capítulo 2)
PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DEL GRADIENTE
Hemos visto que se cumple:
\( d\phi = \overrightarrow{grad} \; \phi · d\vec{l} \)
Si consideramos el vector simbólico:
\( \displaystyle \vec{\nabla} = \frac{\delta }{\delta x}·\hat{i}
+ \frac{\delta }{\delta y}·\hat{j} + \frac{\delta }{\delta
z}·\hat{k} \)
Denominado nabla, se puede escribir:
\( \displaystyle \overrightarrow{grad}\; \phi=\left( \frac{\delta }{\delta x}·\hat{i} + \frac{\delta }{\delta y}·\hat{j} + \frac{\delta }{\delta z}·\hat{k}\right)\phi = \vec{\nabla}\phi \)
El módulo de este vector es:
\( \displaystyle P = |\vec{\nabla}\; \phi| = |\overrightarrow{grad}\; \phi| = \sqrt{\left( \frac{\delta \phi}{\delta x}\right)^2 + \left(\frac{\delta \phi}{\delta y}\right)^2 +\left( \frac{\delta \phi}{\delta z}\right)^2} \)
Y sus cosenos directores:
\( \displaystyle \cos \alpha = \frac{\delta \phi/\delta x}{P} \; ; \; \cos \beta = \frac{\delta \phi/\delta y}{P} \; ; \; \cos \gamma = \frac{\delta \phi/\delta z}{P} \)
El vector simbólico ∇ es uno de los operadores del
cálculo vectorial. No es realmente un vector, pero en ciertas
operaciones y con las debidas precauciones puede tratarse como
tal.
Si se tienen dos campos Ø y Ψ superpuestos, se cumple:
\( \vec{\nabla}(\phi + \psi)= \vec{\nabla}(\phi) \psi + \vec{\nabla}(\psi)\phi
\)
Se observa que los valores de los cosenos directores del vector
gradiente son los de los cosenos directores de la normal a la
superficie Ø(x,y,z); por lo tanto, el gradiente de Ø
en un punto A(x,y,z) es un vector normal a la superficie Ø(x,y,z)
que pasa por dicho punto.
Si realizamos el desplazamiento
en una dirección perpendicular al gradiente, la
variación de la función será:
\( d\phi = \overrightarrow{grad} \; \phi · d\vec{l}
= dl·Proy_{dl} grad \phi \)
Es decir, la variación de la función será
cero, por ser nulo el valor de la proyección sobre
el vector dl del vector grad Ø.
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Por tanto, cuando se realiza un desplazamiento en una
dirección perpendicular al gradiente, no hay variación
de la función, lo que implica que en todos los
puntos del plano perpendicular al gradiente no se experimenta
variación.
Si realizamos el desplazamiento en una dirección paralela
o en la misma dirección que grad Ø resulta que la
variación de la función es máxima, puesto
que la proyección del vector grad Ø sobre el vector
dl es máxima. Por lo tanto, para un cierto valor de dl
dado, se puede obtener en que dirección es máxima
la variación de la función.
Si
α es menor de 90º, la variación
es positiva y el campo crece. Si
α es mayor
de 90º, la variación es negativa y el campo decrece.
El gradiente está dirigido siempre hacia valores crecientes
de la función. Por lo tanto, el gradiente es un vector
perpendicular a la superficie “iso”, de sentido hacia
valores crecientes de la función y cuyo módulo ha
quedado determinado según una fórmula ya determinada.
DERIVADAS DIRECCIONALES
Hemos visto que:
\( \displaystyle d\phi = \overrightarrow{grad} \; \phi ·
d\vec{l}
= dl·Proy_{dl} grad \phi = \frac{d\phi}{dl}\)
Que expresa la derivada direccional de la función Ø.
La derivada direccional es el límite del incremento de
la función en aquella dirección. En el caso de que
la función dependiera de las tres componentes (x,y,z) la
derivada direccional coincide con la derivada parcial:
\( \displaystyle Proy_{dl} grad \phi = \frac{d\phi}{dl} = \frac{d\phi}{dx}·\hat{i} + \frac{d\phi}{dy}·\hat{j} + \frac{d\phi}{dz}·\hat{k} \)
Pero, en general, cuando no tienen una dirección determinada,
es la derivada de la función partida por el desplazamiento
en aquella dirección o, lo que es igual, la proyección
del gradiente en la dirección del desplazamiento.
Se puede entonces definir el gradiente con independencia del sistema.
Ejemplo.- supongamos que se cumple: E·dl = dØ donde Ø
es una función. Sean las fuerzas gravitatorias (queda dl
proyectado sobre el eje Z)
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\(\begin{array}{l}
\vec{F}·dl = - mg·\hat{k}·dl =\\
\\
= - mg·dz = d(-mgz)
\end{array} \)
Existen fuerzas que cumplen:
\( \vec{F}·d\vec{l} = d\phi \)
Entonces se tiene:
\( \left.
\begin{array}{c}
\overrightarrow{grad} \phi ·d\vec{l} = d \phi \\
\\
\vec{E}·d\vec{l} = d \phi \\
\end{array}
\right\}\quad \overrightarrow{grad} \phi = \vec{E} \)
|
Y de forma inversa:
\( \overrightarrow{grad} \phi = \vec{E} \quad \left\{
\begin{array}{c}
\overrightarrow{grad} \phi ·d\vec{l} = d \phi \\
\\
\vec{E}·d\vec{l} = d \phi \\
\end{array}
\right. \)
En el ejemplo teníamos:
\( \vec{F}·d\vec{l} = d \phi = d(-mgz) \)
Por lo tanto:
\( \vec{F}= grad(-mgz) = - grad(mgz) \)
Donde mgz corresponde a la superficie donde g tiene un valor constante.
La dirección del vector F será perpendicular a la
superficie “iso” y el sentido negativo por ser –
grad(mgz) que se ha definido siempre en sentido positivo.
Monografía en cuatro capítulos, CÁLCULO
INFINITESIMAL VECTORIAL Capítulo tres Flujo
vectorial