TEORÍA DE GRUPOS - GRUPO ALTERNADO DE ORDEN n
Teorema.- La aplicación \(
\sigma \rightarrow \epsilon (\sigma) \) que asocia a cada permutación
su paridad es un homomorfismo del grupo simétrico \(
S_n \) en el grupo multiplicativo {+1, -1}. Además, si
n es mayor o igual a 2, dicha aplicación es un hepimorfismo.
Demostración.- Hemos de demostrar
que se cumple:
\(\epsilon (\tau · \sigma) = \epsilon (\tau) · \epsilon
(\sigma) \)
Para ello definimos el producto:
\(V_n = \displaystyle\prod_{1 \leq i < j \leq k}[j-i]
= \)
\( = [2-1][(3-1)(3-2)] ··· \)
\( ··· [(n-1)(n-2) ··· (n-(n-1))] \)
Se observa fácilmente que este producto es estrictamente
positivo, puesto que lo es cada factor.
Si, por otro lado escribimos
el producto: \(\sigma (V_n) \displaystyle\prod_{i < j }[
\sigma (j) - \sigma (i)]\) donde \( \sigma \) es una permutación,
cada factor de \( V_n \) se vuelve a encontrar en \( \sigma
(V_n) \) una y solo una vez salvo, quizás, el signo.
Según hemos definido una inversión, se tendrá:
\( \sigma (V_n) = (-1)^{sig( \sigma)} · V_n\)
Pero al factor \( (-1)^{sig( \sigma)} \) lo hemos llamado
paridad de la parmutación \( \sigma \) , por lo tanto
podemos escribir:
\(\sigma (V_n) = \displaystyle \epsilon ( \sigma) · V_n
\quad \Rightarrow \quad \epsilon ( \sigma ) = \frac{\sigma
(V_n)}{V_n} = \prod_{i < j } \frac{\sigma (j) - \sigma
(i)}{j-i}\)
Consideremos ahora dos permutaciones \( \sigma (i) \; y \;
\tau \), y busquemos la paridad de \( \tau · \sigma\). Según
hemos visto se tiene:
\( \displaystyle \epsilon ( \tau · \sigma) = \prod_{i <
j } \frac{\tau · \sigma (j) - \tau · \sigma (i)}{j-i} =
\prod_{i < j } \frac{\tau [\sigma (j, i)] - \tau [\sigma
(i, j)]}{j-i} = \)
\( \displaystyle = \prod_{i < j } \frac{\tau [\sigma
(j)] - \tau [\sigma (i)]}{j-i} · \frac{\sigma (j) - \sigma
(i)}{j-i} = \epsilon (\tau) · \epsilon (\sigma)\)
Con lo que podemos decir que la aplicación \( \sigma
\rightarrow \epsilon (\sigma) \) es un homomorfismo sobreyectivo
(hepimorfismo) del grupo simétrico \( S_n \) sobre
el grupo multiplicativo {+1, -1}.
Corolario 1.- La paridad de un producto
de k transposiciones es (+1) ó (-1) según que
k sea par o impar.
Corolario 2.- Un ciclo \( \gamma
\) de longitud s tiene de paridad \( (-1)^{s-1 }\) puesto
que es igual al producto de (s-1) transposiciones.
Grupo alternado de orden n, \( A_n \) .-
Para n > 1 el conjunto de las permutaciones pares de \(
S_n \) es un subgrupo invariante de \( S_n \) y su orden es
n!/2.
Demostración.- Las permutaciones
pares serán las que formen el conjunto de los elementos
que sean la imagen recíproca del elemento +1 del grupo
multiplicativo {+1,-1}. Pero el elemento +1 de dicho grupo
es el neutro, por lo tanto podemos poner:
\( A_n = \epsilon^{-1}(+1) \Leftrightarrow A_n = Ker \;
\epsilon \)
y \( A_n \) es un subgrupo invariante.
Para calcular el orden de este subgrupo supongamos que sus
elementos forman un conjunto de la forma:
\( A_n = \{ \sigma_1 , ··· , \sigma_n\} \)
Si tornamos una trasposición (1, 2) y consideramos
las \( (1, 2) \sigma_1, ··· , (1, 2) \sigma_k \) permutaciones
impares podemos decir que si \( \sigma \) es una permutación
impar, entonces \( (1, 2) \sigma\) es par y, por tanto, \(
(1, 2) \sigma = \sigma_i \)
Y operando de nuevo con la trasposición (l, 2):
\( (1, 2)(1, 2) \sigma = \sigma_i \rightarrow \sigma = (1,
2) \sigma_i\)
Luego el conjunto de las permutaciones impares es: \( \{ (1,
2) \sigma_1, ··· , (1, 2) \sigma_k \} \) y, por tanto el orden
de A es n!/2.