TEORÍA DE GRUPOS - GRUPO ALTERNADO DE ORDEN n

Teorema.- La aplicación \( \sigma \rightarrow \epsilon (\sigma) \) que asocia a cada permutación su paridad es un homomorfismo del grupo simétrico \( S_n \) en el grupo multiplicativo {+1, -1}. Además, si n es mayor o igual a 2, dicha aplicación es un hepimorfismo.

Demostración.- Hemos de demostrar que se cumple:

\(\epsilon (\tau · \sigma) = \epsilon (\tau) · \epsilon (\sigma) \)

Para ello definimos el producto:

\(V_n = \displaystyle\prod_{1 \leq i < j \leq k}[j-i] = \)

\( = [2-1][(3-1)(3-2)] ··· \)

\( ··· [(n-1)(n-2) ··· (n-(n-1))] \)

Se observa fácilmente que este producto es estrictamente positivo, puesto que lo es cada factor.

Si, por otro lado escribimos el producto: \(\sigma (V_n) \displaystyle\prod_{i < j }[ \sigma (j) - \sigma (i)]\) donde \( \sigma \) es una permutación, cada factor de \( V_n \) se vuelve a encontrar en \( \sigma (V_n) \) una y solo una vez salvo, quizás, el signo. Según hemos definido una inversión, se tendrá:

\( \sigma (V_n) = (-1)^{sig( \sigma)} · V_n\)

Pero al factor \( (-1)^{sig( \sigma)} \) lo hemos llamado paridad de la parmutación \( \sigma \) , por lo tanto podemos escribir:

\(\sigma (V_n) = \displaystyle \epsilon ( \sigma) · V_n \quad \Rightarrow \quad \epsilon ( \sigma ) = \frac{\sigma (V_n)}{V_n} = \prod_{i < j } \frac{\sigma (j) - \sigma (i)}{j-i}\)

Consideremos ahora dos permutaciones \( \sigma (i) \; y \; \tau \), y busquemos la paridad de \( \tau · \sigma\). Según hemos visto se tiene:

\( \displaystyle \epsilon ( \tau · \sigma) = \prod_{i < j } \frac{\tau · \sigma (j) - \tau · \sigma (i)}{j-i} = \prod_{i < j } \frac{\tau [\sigma (j, i)] - \tau [\sigma (i, j)]}{j-i} = \)

\( \displaystyle = \prod_{i < j } \frac{\tau [\sigma (j)] - \tau [\sigma (i)]}{j-i} · \frac{\sigma (j) - \sigma (i)}{j-i} = \epsilon (\tau) · \epsilon (\sigma)\)

Con lo que podemos decir que la aplicación \( \sigma \rightarrow \epsilon (\sigma) \) es un homomorfismo sobreyectivo (hepimorfismo) del grupo simétrico \( S_n \) sobre el grupo multiplicativo {+1, -1}.

Corolario 1.- La paridad de un producto de k transposiciones es (+1) ó (-1) según que k sea par o impar.

Corolario 2.- Un ciclo \( \gamma \) de longitud s tiene de paridad \( (-1)^{s-1 }\) puesto que es igual al producto de (s-1) transposiciones.

Grupo alternado de orden n, \( A_n \) .- Para n > 1 el conjunto de las permutaciones pares de \( S_n \) es un subgrupo invariante de \( S_n \) y su orden es n!/2.

Demostración.- Las permutaciones pares serán las que formen el conjunto de los elementos que sean la imagen recíproca del elemento +1 del grupo multiplicativo {+1,-1}. Pero el elemento +1 de dicho grupo es el neutro, por lo tanto podemos poner:

\( A_n = \epsilon^{-1}(+1) \Leftrightarrow A_n = Ker \; \epsilon \)

y \( A_n \) es un subgrupo invariante.

Para calcular el orden de este subgrupo supongamos que sus elementos forman un conjunto de la forma:

\( A_n = \{ \sigma_1 , ··· , \sigma_n\} \)

Si tornamos una trasposición (1, 2) y consideramos las \( (1, 2) \sigma_1, ··· , (1, 2) \sigma_k \) permutaciones impares podemos decir que si \( \sigma \) es una permutación impar, entonces \( (1, 2) \sigma\) es par y, por tanto, \( (1, 2) \sigma = \sigma_i \)

Y operando de nuevo con la trasposición (l, 2):

\( (1, 2)(1, 2) \sigma = \sigma_i \rightarrow \sigma = (1, 2) \sigma_i\)

Luego el conjunto de las permutaciones impares es: \( \{ (1, 2) \sigma_1, ··· , (1, 2) \sigma_k \} \) y, por tanto el orden de A es n!/2.