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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
TEORÍA DE GRUPOS

GRUPOS ABELIANOS - GRUPOS FINITOS

 

TEORÍA DE GRUPOS - GRUPOS ABELIANOS


Definición; Grupo abeliano, - Un grupo (G, +) es abeliano si y solo si la ley de composición interna definida en él es conmutativa:
    \(\forall x, y \in G .- \quad x + y = y + x \qquad \) (en notación aditiva)
Consecuencias:

1ª) todo subgrupo de un grupo abeliano es abeliano,

2ª) Todo subgrupo de un grupo abeliano es invariante, es decir:
    \( x + H = H + x \quad , \) donde \( x \in G \)
En los subgrupos abelianos la propiedad de invarianza es más fuerte que en los subgrupos no abelianos, puesto que para los demás se tiene:
    \( x_1 + H = H + x_2 \)
donde \(x_1, x_2 \) pertenecen a G.
En adelante, todo lo que demos sobre grupos será referido a grupos abelianos mientras no se especifique lo contrario.

OPERACIONES CON LOS SUBGRUPOS DE UN GRUPO ABELIANO

Intersección. - La intersección de subgrupos de un grupo abeliano es un subgrupo abeliano.

Suma. - La suma de dos subgrupos de un grupo abeliano es un subgrupo abeliano que se define en la forma:
    \( H + K = \{h+k / h \in H \wedge k \in K \} \)
Demostración.-
    \(\begin{array}{l} x, y \in H+K \quad \left \{ \begin{array}{ll} x = h_1 + k_1 \\ y = h_2 + k_2 \end{array} \right \} \quad x-y = \\ \\ = (h_1+k_1) - (h_2+k_2) = (h_1 - h_2) + (k_1 - k_2) \end{array} \)
y puesto que H y K son grupos \((h_1-h_2) \; y \; (k_1 – k_2) \) serán respectivamente de cada uno de ellos.

La definición de suma de dos subgrupos se puede generalizar a un número finito cualquiera de subgrupos.

Definición : Suma directa .- Si H y K son dos subgrupos de un grupo abeliano tales que su intersección se reduce al elemento cero, \( H \cap K = { 0 } \) , entonces su suma es directa y se denota en la forma \( H \oplus K \)

Teorema.- La condición necesaria y suficiente para que la suma de dos subgrupos sea directa es que todo elemento de dicha suma se exprese de manera única como suma de un elemento de H y otro de K.

Condición necesaria, - Sea \(x \in H+K\) y supongamos que x se puede expresar en dos formas
    \( \begin{array}{l} \left. \begin{array}{ll} x = h_1 + k_1 \\ x = h_2 + k_2 \end{array} \right \} \quad 0 = (h_1 - h_2) + (k_1 - k_2) \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow h_1 - h_2 = k_1 - k_2 \in H \cap K \end{array} \)
de aquí se deduce que ha de ser:
    \( h_1 - h_2 = k_1 - k_2 = 0 \Rightarrow h_1 = h_2 \; y \; k_1 = k_2 \)
por lo que existen un único \( h \in H \) y un único \(k \in K \) tales que \(x = h + k\)

Condición suficiente.- Sea \( \), podemos poner:
    \(y = h + k \quad \), donde \(h \in H \; y \; k \in K \)

    \(y = h-x + k+x \)
de aquí se deduce
    \(\left.
    \begin{array}{ll}
    h-x = h \\
    k+x = k
    \end{array}
    \right \} \quad \Leftrightarrow x = 0 \Leftrightarrow H \cap K = \{ 0 \} \) y la suma es directa \( H \oplus K \)
Monografía en trece capítulos, primer capítulo: Grupos Abelianos. Capítulo siguiente Proyector de un grupo
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tema escrito por: José Antonio Hervás