Estás en > Matemáticas y Poesía > Matemáticas

MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
TEORÍA DE GRUPOS

GRUPOS ABELIANOS - GRUPOS FINITOS

 

GRUPOS DE TRANSFORMACIONES - TEOREMA DE CAYLEY

Definición.- Todo subgrupo del grupo de permutaciones de cualquier conjunto E se llama grupo de transformaciones de E. Si el conjuntó E es un grupo, el conjunto de automorfismos (isomorfismo de E en si mismo) de E, es un grupo de transformaciones.

Teorema de Cayley.- Todo grupo G es isomorfo a un grupo de transformaciones.

Demostración.- Sea un grupo cualquiera G y a un elemento de dicho grupo, y consideremos la aplicación f definida de G en G mediante:
    \( f_a \quad : \quad G \rightarrow G \)

    \( \qquad \qquad f_a(x) = a · x\)
esta aplicación es biyectiva puesto que se tiene:
    \(f_a \textrm{ inyectiva : } F_a(x) = f_a(y) \rightarrow a · x = a · y \rightarrow x = y \) (por ser G grupo)

    \( f_a \textrm{ sobreyectiva : se ha de cumplir } \forall y \in G \; \exists \; x \in G / f_a(x) = y\)
Pero como G ha de ser finito podemos poner:
    Card (Im\( f_a) \) = Card (G) \( \Leftrightarrow \textrm{ Im } f_a = G \)
y por tanto f es biyectiva. El conjunto de las biyecciones de G será de la forma:
    \( A = \{f_a / a \in G \} \subset S_G \)
Hemos de demostrar ahora que A es un subgrupo de \( S_G \) . Para ello sean \( f_a \wedge f_b \in A \) entonces se ha de cumplir que \( f_a · f_b^{-1}\). Veamos cuanto vale el elemento \(f_b^{-1} \); tenemos
    \( \begin{array}{l} f_b(x) = b · x \wedge f_b^{-1}(b · x) = x \Rightarrow f_b^{-1}(y) = x \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow y = f_b(x) = b · x \; ; \; x = b^{-1} · y \end{array}\)
y, finalmente:
    \(f_b^{-1}(x) = f_{b^{-1}}(x) = b^{-1} · x \)
Podemos hacer entonces:
    \(f_a · f_b^{-1} = f_a · f_b^{-1}(x) = f_a [f_b^{-1}(x)] = f_a \left(b^{-1} · x \right) =\)

    \( = \left(ab^{-1}\right) x = f_{ab^{-1}}(x) \Rightarrow f_a · f_b^{-1} \in A \)
y, por tanto A es un subgrupo de \( S_G \).

Para terminar la demostración del teorema hemos de probar que A es isomorfo a G. Para ello definimos la aplicación:
    \( f \quad : \quad G \rightarrow A\)

    \( \qquad \qquad a \rightarrow f_a \)
Esta aplicación es un isornorfismo biyectivo puesto que se tiene que f es sobreyectiva por construcción e inyectiva por tenerse:
    \( f_a = f_b \Rightarrow a · x = b · x \Rightarrow \forall x \in G \quad , \quad a = b \)
y al ser sobreyectiva e inyectiva, será biyectiva.

Además se tiene:
    \( f(a · b ) = f_{a · b} = f_a · f_b = f(a) · f(b) \)
puesto que podemos poner:
    \( f_{a · b} (x) = (a · b)x = f_a (b · x) = f_a · f_b \)
Por todo ello queda, demostrado el teorema.

Definición : Representación de G.- Dado un grupo G se llama representación de G a toda biyección de G en un grupo de transformaciones.

La aplicación empleada para la demostración del teorema de Cayley recibe la denominación de translación a izquierda.
Monografía en trece capítulos, primer capítulo: Grupos Abelianos. Estás en el capítulo final
¿Te han sido de utilidad estos apuntes sobre grupos abelianos?.- ¡Recomiénda esta página!

Otros usuarios de Matemáticas y poesía también han visto:


 



tema escrito por: José Antonio Hervás