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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
TEORÍA DE GRUPOS

GRUPOS ABELIANOS - GRUPOS FINITOS

 

ORDEN DE UNA PERMUTACIÓN - SIGNATURA DE UNA PERMUTACIÓN

Corolario.- El orden de una permutación es el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los órdenes de sus ciclos disjuntos.

Demostración.- La permutación vendrá dada en la forma: \( \sigma = \gamma_1 , ··· , \gamma_k \) de donde resulta:
    \(\sigma^n = (\gamma_1, ··· , \gamma_k)^n = \gamma_1^n ··· \gamma_k^n = I \)

    \( \Longrightarrow \forall i \quad \gamma_i^n = I\)
pero para que resulte esta equivalencia es necesario que n sea múltiplo de los órdenes de todos los \( \gamma_i \). Por lo tanto podemos tomar como orden de la permutación el menor de dichos múltiplos que será el m.c.m.

Proposición.- Toda permutación \( \sigma \) de n se puede poner como producto de transposiciones.

Sabernos que toda permutación se puede poner en la forma:
    \( \sigma \in S_n \Rightarrow \sigma = \gamma_1 , ··· , \gamma_k\)
donde \( \gamma_i\) son ciclos longitud mayor o igual a 2.

Por otro lado, cada ciclo \( \gamma_i \) se puede expresar según la, notación circular:
    \( \gamma_i = (a_1, a_2, ··· , a_p) = (a_1, a_2)(a_2, a_3) ··· (a_{p-1}, a_p)\)
Ejemplos:
    \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \\ 3 & 6 & 1 & 4 & 2 & 5
    \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 6 & 5 \\ \\ 6 & 5 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ \\ 4 \end{pmatrix} = (1, 3)(2, 6, 5)(4) = (1, 3)(2, 6, 5) \)

    \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & 2 \\ \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 3 \\ \\ 1 & 3 & 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ \\ 1 & 2 & 4 & 3 \end{pmatrix} = (1, 2)(2, 3)(3, 4) \)
Como ejemplo general podemos poner:
    \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \\ 5 & 3 & 8 & 6 & 7 & 4 & 1 & 2
    \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 5 & 7 \\ \\ 5 & 7 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 3 & 8 \\ \\ 3 & 8 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ \\ 6 & 4 \end{pmatrix} = \)

    \( (1, 5, 7)(2, 3, 8)(4, 6) = (1, 5)(5, 7)(2, 3)(3, 8)(4, 6)\)
Sea \( \sigma \) una permutación de n; siendo \( \sigma \) biyectiva, como hemos visto, se tiene para \( i, j \in n \):
    \( i < j \Rightarrow \left \{ \begin{array}{lll} \sigma (i) < \sigma (j) \\ ó \\
    \sigma (i) > \sigma (j) \end{array} \right. \)
Definición: inversión.- Cuando para i < j es \( \sigma (i) > \sigma (j) \) se dice que los dos elementos \( \sigma (i) \; y \; \sigma (j) \) presentan una inversión.

Definición: signatura.- Se llama signatura de una permutación al número de inversiones que presente.

Definición: paridad .- Llamaremos paridad de una permutación al número que se obtiene mediante la operación:
    \( \epsilon ( \sigma ) = (-1)^{sig(\sigma)} \)
Una permutación se dice que es par si tiene paridad +1, e impar si tiene paridad -1. La, paridad de la permutación identidad vale +1 puesto que al aplicar dicha permutación no se produce ningún cambio y, por tanto, no se produce ninguna inversión.

Toda trasposición tiene paridad (-1). Podemos escribir:
    \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & ··· & i-1 & i & i+1 & ··· & j-1 & j & j+1 & ··· & n \\ \\ 1 & 2 & ··· & i-1 & j & i+1 & ··· & j-1 & i & j+1 & ··· & n \end{pmatrix} \)
Vemos que los elementos del conjunto {1, n - {i, j}} no presentan ninguna, inversión dos a dos.

Por otro lado, los elementos\( \sigma (i) = j \quad , \quad \sigma (j) = i \) no presentan ninguna inversión con los elementos de los conjuntos {1, ..., (i-1)} y {(j+1), ... , n}

Podemos también decir que los elementos \( \sigma (i) \; y \; \sigma (j) \) presentan una inversión entre ellos y además se tiene:

\( \sigma (i) \) presenta una inversión con cada elemento de {(i+1), ..., (j-1)} (A1)

\( \sigma (j) \) presenta una inversión con cada elemento de {(i+1), ..., (j-1)} (A2)

Por lo tanto, el número total de inversiones será impar, puesto que las inversiones obtenidas en (A1 + A2) siempre suman un número par. Nos queda entonces, tan solo, la inversión entre \(\sigma (i) \; y \; \sigma (j) \) con lo que, en resumen, podemos decir que toda trasposición es impar.
Monografía en trece capítulos, primer capítulo: Grupos Abelianos. Capítulo siguiente Grupo alternado
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tema escrito por: José Antonio Hervás