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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
TEORÍA DE GRUPOS

GRUPOS ABELIANOS - GRUPOS FINITOS

 

TEOREMA.- COMPOSICIÓN DE PERMUTACIONES CIRCULARES

Teorema.- Toda permutación \( \sigma \neq I \) , de un conjunto finito, resulta de la composición de \(\gamma_1 , ··· , \gamma_k \) permutaciones circulares disjuntas de longitud mayor o igual a 2. Esta descomposición es única salvo el orden de los factores.
Demostración.- Vamos a definir en el conjunto n una relación R de la forma:
    \( x \textrm{R} y \Leftrightarrow \exists n \in Z / y = \sigma^n x \)
La relación asi definida es de equivalencia pues se tiene:

Propiedad reflexiva.-
    \(\forall x \in n \; x \textrm{R} x \textrm{ puesto que } \sigma ^0 x = x \; ; \; 0 \in Z \)
Propiedad simétrica.-
    \( \textrm{ Si} \quad x \textrm{R} y \Rightarrow \exists n \in Z / y = \sigma^n x \Rightarrow \)

    \( \exists -n \in Z / x = \sigma^{-n} y \Rightarrow y \textrm{R} x \)
Propiedad transitiva.-

\(\textrm{ Si} \quad x \textrm{R} y \wedge y \textrm{R} z \Leftrightarrow \exists n_1, n_2 / y = \sigma^{n_1} x \wedge z = \sigma^{n_2} y \).

De ese modo, podernos poner:
    \( z = \sigma^{n_1} \left(\sigma^{n_2} x \right) \Leftrightarrow x \textrm{R} z \)
Podernos construir entonces el conjunto cociente en el que las clases de equivalencia reciben el nombre de órbitas y son de la forma:
    \([x] = C_x = \{\sigma^n x / n \in Z \} \)
Como el conjunto n es finito, también lo es el conjunto \( C_x \) por lo que existirán dos valores \(n_1, n_2 \) en Z que cumplirán:
    \(\sigma^{n_1} x = \sigma^{n_2} x \Rightarrow \sigma^{n_1 - n_2} x = x \)
Tomemos entonces el menor entero positivo que cumpla: \(\sigma^p x = x \) ;de esa forma, los elementos distintos del conjunto \( C_x \) son:
    \(C_x = \{\sigma^0 x , \; \sigma^1 x , ··· , \sigma^{p-1} x \} \)
Consideremos ahora el ciclo \( \gamma = \{x , \sigma x , \sigma^2 x , ··· , \sigma^{p-1} x \} \) y sea una permutación cualquiera y. Se tendrá:
    \(\forall y \in C_x \Rightarrow \gamma y = \sigma y \quad ; \quad \forall y \not\in C_x \Rightarrow \gamma y = y \)
Sean \( C_1 \) hasta \( C_k \) las clases de equivalencia para R en n que constan de más de un elemento, y sean \( \gamma_1 , ··· , \gamma_k \) ciclos correspondientes de longitud mayor o igual que 2, se tiene entonces \( \sigma = \gamma_1 , ··· , \gamma_k \) , como vamos a demostrar. Sea \(y \in n \)
    \(\textrm{Si } y \not \in C_i \quad , \quad \textrm{donde } 1 \leq i \leq n \Rightarrow \sigma y = y = (\gamma_1, ··· , \gamma_k)y \)

    \(\textrm{Si } \exists \; i / y \in C_i, \quad \textrm{sea } \sigma y = z \; (\textrm{siendo } y, z \in C_i) \)
Podernos poner entonces:
    \( \begin{array}{lll} \gamma_i y = \sigma y = z \\ \\ \gamma_j y = y \quad ; \quad \gamma_j z = z \end{array} \quad \textrm{cuando }j \neq i \)
puesto que los ciclos \( \gamma_i \wedge \gamma_j \) son disjuntos y, por tanto, \(\gamma_i \) deja invariantes los elementos desplazados por \( \gamma_j \) , y reciprocamente. Por todo ello podemos poner:
    \( (\gamma_1 , ··· , \gamma_k)y = \sigma y = z\)
Supongamos que exista otra descomposición distinta para, una permutación:
    \( \sigma = \beta_1, ··· , \beta_r\)
Podemos decir entonces que cada \( \beta_i \) corresponde a una clase de equivalencia para, R en n y, por tanto, por ser \( C_x \) una partición de n , coincidirá con algún \( \gamma \).
Monografía en trece capítulos, primer capítulo: Grupos Abelianos. Capítulo siguiente Orden de una permutación
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tema escrito por: José Antonio Hervás