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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
TEORÍA DE GRUPOS

GRUPOS ABELIANOS - GRUPOS FINITOS

 

TEORÍA DE GRUPOS - CICLOS Y TRANSPOSICIONES

Definición: Ciclo de longitud k .- Se llama ciclo de longitud k a una permutación que sustituye circularmente k cifras de las n y deja invariantes las demás. Para un ciclo de longitud k se tiene:
    \(
    \begin{array}{lll}
    \sigma (a_i) = a_{i+1}x \quad , \quad \textrm{ si } 1 \leq i \leq k-1\\
    \sigma (a_k) = a_1 \\ \sigma (a_j) = a_j \quad , \quad \textrm{ si } k+1 \leq j \leq n
    \end{array}
    \qquad \)

    \( \sigma = \begin{pmatrix} a_1 & ··· & a_k & & a_{k+1} & ··· & a_n \\ \\ a_2& ··· & a_1& & a_{k+1} & ··· & a_n \end{pmatrix}\)
Un ciclo se puede denotar brevemente en la forma: \( (a_1 , a_2 , ..., a_k) \) empleando la notación circular.

Para entender esta denominación vamos a hacer lo siguiente: Si dividimos una circunferencia en k partes iguales, y en los puntos de división ponemos \( a_1 , a_2 , ..., a_k \) la permutación circular \( \gamma = (a_1 , a_2 , ..., a_k) \) equivale a desarrollar un giro de amplitud \( 2 \pi k\) de modo que \( a_1\) cae en \(a_2, a_2 \) en \( a_3 , ... , a_k \) en \( a_1 \).

Para hallar el producto \( \gamma \gamma \) o, lo que es igual, elevar al cuadrado la permutación, se aplica dos veces consecutivas ésta, es decir, se hace girar la circunferencia un ángulo doble obteniendo de esa forma:
    \( \gamma^2 = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & ···& a_{k-2}& a_{k-1}& a_k\\ \\ a_3& a_4& a_5& ···& a_k & a_1 & a_2
    \end{pmatrix} \)
de igual forma se puede calcular \( \gamma^3, \gamma^4, ···, \gamma^{k-1 }\), pero al llegar a \( \gamma^k\) hemos hecho girar la circunferencia k veces la k-ésima parte de \(2 \pi \) , lo que da en total \(2 \pi \) y, por lo tanto, cada punto coincide con su posición inicial, es decir:
    \( \gamma^k = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & ···& a_{k-2}& a_{k-1}& a_k\\ \\ a_1 & a_2 & a_3 & ···& a_{k-2}& a_{k-1}& a_k
    \end{pmatrix} = I \)
La potencia \( \gamma^k \) de una permutación de k elementos es, por tanto, la unidad y todas las potencias anteriores son distintas de la permutación identidad. Este número k recibe el nombre de grado de la permutación circular.

Definición: transposición .- Un ciclo de longitud 2 recibe el nombre de transposición \( (a_1, a_2) \)

Ejemplos de ciclos:
    \( \begin{array}{l} \sigma_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ \\ 2 & 3 & 1 & 4 & 5 \end{pmatrix} = (1, 2, 3) \\ \\ \sigma_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ \\ 2 & 1 & 4 & 5 & 3 \end{pmatrix} = (1, 2)(3, 4, 5) \end{array}\)
Monografía en trece capítulos, Inicio en Grupos Abelianos. Capítulo siguiente Composición de permutaciones
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tema escrito por: José Antonio Hervás