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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
TEORÍA DE GRUPOS

GRUPOS ABELIANOS - GRUPOS FINITOS

 

PRODUCTO DE SUSTITUCIONES

Dada una sustitución \( \sigma \) y otra sustitución \( \tau \) , aplicada \( \sigma \) a cualquier permutación P, produce otra nueva permutación Q ; y aplicando a esta la sustitución \( \tau \) obtenemos una nueva permutación R.

La sustitución que transforma directamente P en R se llama producto de \( \sigma \) por \( \tau \) y se designa por \( \sigma · \tau \) , o simplemente \( \sigma \tau \)

Ejemplo, dados \( \sigma \; y \; \tau \)
    \( \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \\ 3 & 5 & 1 & 2 & 4
    \end{pmatrix} \)

    \( \tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \\ 4 & 1 & 5 & 2 & 3
    \end{pmatrix} \)
Su producto según la defición dada, es:
    \( \sigma \tau =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \\ 5 & 3 & 4 & 1 & 2
    \end{pmatrix} \)
es decir, el 1, según \( \sigma \) pasa al tercer lugar, y el que está en tercer lugar en esta nueva permutación pasa al quinto lugar según \( \tau \) , por lo tanto, el 1 pasa directamente al quinto lugar según \( \tau \sigma \). Con los demás elementos se hace igual.

En general, el producto de sustituciones se escribe en la forma:
    \( \tau \sigma = \begin{pmatrix} \; 1 & \qquad \qquad & 2\\ \\ \tau [\sigma (1)] & ··· ··· &\tau [\sigma (n)] \end{pmatrix} \)
Aunque, en general, el producto de sustituciones no cumple la propiedad conmutativa, existen elementos que la cumplen. Se dice entonces que dichos elementos son conmutable Así, por ejemplo:
    \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\ \\ 3 & 7 & 4 & 1 & 6 & 5 & 2
    \end{pmatrix} \quad y \quad \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\ \\ 4& 5& 1& 3& 7& 2& 6
    \end{pmatrix} \)
son conmutables.

Existen algunos casos de sustituciones que son conmutables en general:
a) cuando los factores son sustituciones sin elementos comunes:
    \( \begin{array}{l} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5\\ \\ 5& 1& 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3& 9& 8& 7\\ \\ 7& 8& 9& 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\ \\ 5& 1& 2& 7& 8& 9& 3 \end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix} 3& 9& 8& 7\\ \\ 7& 8& 9& 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5\\ \\ 5& 1& 2 \end{pmatrix} \end{array}\)
Hemos considerado que se pueden poner en cualquier orden los pares componentes de una. sustitución.

b) Cuando dos sustituciones se componen de los mismos pares de elementos, pero se encuentran invertidos. Estas sustituciones se llaman inversas y su producto, en cualquier orden es la sustitución identidad:
    \( \begin{pmatrix} a& b& c & d & e\\ \\ c& d& e & a & b \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a& b& c & d & e\\ \\ d& e& a& b& c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a& b& c & d & e\\ \\ a& b& c & d & e \end{pmatrix} = I \)
el elemento inverso de una sustitución \( \sigma \) suele designarse en la forma \( \sigma^{-1}\)

Se dice que una sustitución \( \sigma \) opera sobre una parte n' de n si deja invariantes las cifras n - n'.

NOTA.- De ahora en adelante, usaremos la palabra "permutación" para referirnos también a una sustitución.
Monografía en trece capítulos, primer capítulo: Grupos Abelianos. Capítulo siguiente Ciclos y transposiciones
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tema escrito por: José Antonio Hervás