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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
TEORÍA DE GRUPOS

GRUPOS ABELIANOS - GRUPOS FINITOS

 

TEORÍA DE GRUPOS - EL GRUPO SIMÉTRICO


Definición; permutación de un conjunto, - Sea E un conjunto cualquiera. Recibe el nombre de permutación de E cualquier biyección de E en si mismo.

Podemos considerar el conjunto de las biyecciones de E, denotado \( S_E \) y ver que este conjunto es grupo para la composición de aplicaciones puesto que es ley de composición interna, posee elemento neutro (aplicación identidad), todos sus elementos cumplen la propiedad asociativa y tienen simétrico.

Al conjunto \( S_E \) lo vamos a llamar grupo de las permutaciones de E o grupo simétrico de E.

Si E y E' son dos conjuntos cualesquiera equipotentes (mismo cardinal), entonces existe una aplicación \( \varphi \) biyectiva de la forma \(\varphi : E \rightarrow E' \; \) y podemos poner:
    \( F \quad : \quad S_E \rightarrow S_{E'} \)

    \( \qquad \qquad f \rightarrow \varphi · f · \varphi ^{-1} \in S_{E'}\)
donde la aplicación f es un isomorfismo puesto que se tiene:
    \( \begin{array}{l} \forall f' \in S_{E'} \quad \exists ! f \in S_E | F(f) = f' .- \varphi · f · \varphi ^{-1} = f' \Rightarrow f = \varphi ^{-1} · f' · \varphi \\ \\ F(f_1f_2) = \varphi (f_1f_2)\varphi ^{-1} =( \varphi · f_1 · \varphi ^{-1})(\varphi · f_2 · \varphi ^{-1}) = F(f_1) · F(f_2) \end{array}\)
puesto que \( \varphi · \varphi ^{-1} \) = Identidad

Estudio del grupo simétrico \( S_n \) Llamaremos n al conjunto {1, 2, ... , n } y \( S_n \) al conjunto:
    \( S_n = \{\sigma \; / \; \sigma : n \rightarrow n \; , \; \textrm{ es biyección} \} \)
Según hemos visto anteriormente, si E es un conjunto cualquiera tal que card E = n , entonces \( S_E \approx S_n \) , y todas las propiedades de los grupos simétricos las podemos estudiar en el grupo \( S_n \) .

Si \( \sigma \; y \; \tau \) son dos elementos de \( S_n \) se escriben en la forma:
    \( \sigma = \; \begin{pmatrix} 1 ··· ··· n\\ \\ \sigma(1) ··· \sigma (n)
    \end{pmatrix} \qquad ; \qquad \tau = \; \begin{pmatrix} 1 ··· ··· n\\ \\ \tau(1) ··· \tau (n)
    \end{pmatrix} \)
Los elementos del grupo \( S_n \) reciben el nombre de sustituciones y vienen descritos por dos permutaciones. La superior es la de partida y la inferior la de llegada. Se dice que dos sustituciones son iguales si cada elemento aparece sustituido por uno mismo en ambas operaciones.

Llamando pares componentes de la sustitución a los formados por cada elemento con su sustituto, resulta.que se puede alterar de cualquier modo el orden de I03 n pares com ponentes de una sustitución.

Cuando un elemento está sustituido por él mismo, es decir, cuando la sustitución lo deja invariante, puede suprimirse este par. Según lo dicho podemos poner:
    \( \begin{pmatrix} 2 & 5 & 3 & 1 & 4 & 6 \\ \\ 2 & 6 & 1 & 5 & 4 & 3
    \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 3 & 1 & 6 \\ \\ 6 & 1 & 5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 & 6 \\ \\ 5 & 1 & 6 & 3 \end{pmatrix} = ···
    \)
Las sustituciones posibles se obtienen dejando invariable la permutación superior y tomando en la parte inferior todas las permutaciones posibles entre los n elementos. De ahí se deduce que el conjunto de las sustituciones de n elementos consta de n! elementos, entre los que se encuentra la sustitución identidad que es aquella que deja invariable todos los elementos.

Aplicar una sustitución \( \sigma \) a una permutación P, o efectuar en ésta dicha sustitución, es poner en vez de cada elemento su correspondiente en la parte inferior de \( \sigma \) . 0btenemos de ese modo una nueva permutación P' que se escribirá \( \sigma (P^{\; \prime})\) . Ejemplo:
    \( \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ \\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \; ; \; P = (2, 4, 3, 1) \Rightarrow \sigma (P) = P^{\; \prime} = (1, 3, 2, 4) \)
Operación que hemos efectuado cambiando cada elemento de la permutación por el que tiene debajo de él según indica la sustitución.
Monografía en trece capítulos, primer capítulo: Grupos Abelianos. Capítulo siguiente Producto de sustituciones
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tema escrito por: José Antonio Hervás