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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
TEORÍA DE GRUPOS

GRUPOS ABELIANOS - GRUPOS FINITOS

 

GRUPOS CÍCLICOS - SUBGRUPOS


Teorema.- Todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico.

Demostración.- Supongamos en primer lugar que G es un grupo cíclico infinito:
    \(G = \{n · g \; / \; n \in Z \} = (g) \)
Tomemos un elemento \(k · g \in G \) y consideremos el conjunto:
    \(S = \{n' (k · g) \; / \; n' \in Z\} \)
Por ejemplo \( \{n(3 · 1)\; / \; n \in Z \} \). Entonces S es un subgrupo de G:
    \( \displaystyle x, y \in S \Rightarrow \left \{ \begin{array}{ll} x = n_1 (k · g) \\ y = n_2 (k · g) \end{array} \right. \quad \Rightarrow x-y = \)

    \( n_1(k · g) - n_2(k · g) = (n_1 - n_2)(k · g) \in S
    \)
Sea, por otro lado S' un subgrupo cualquiera de G no nulo y consideremos el más pequeño entero positivo k tal que \(k · g \in S'\). Sea \( x \in S' \; \) entonces podemos poner:
    \( x = p · g = (q · k + r)g \qquad , \quad \textrm{donde} \quad 0 \leq r \leq k\)
según eso, tenemos:
    \( p · g = (q · k + r)g = (q · k)g + r · g = q (k · g) + r · g \Rightarrow r · g \in S'\)
puesto que p.g y q(k.g) pertenecen a S'

Pero hemos puesto como condición que k sea el menor entero positivo que cumpla \( k · g \in S' \) y, por tanto, r = 0 con lo que se deduce que p = q.k y podernos poner:
    \( \forall x \in S' \quad , \quad x = p · g = (q · k)g = q(k · g)\)
y el grupo S' está engendrado por elemento \( kg : S' = \{n(k · g) \; / \; n \in Z\}\)

Todos los subgrupos cíclicos de un grupo cíclico infinito son infinitos. Sea ahora G un grupo cíclico engendrado por un elemento g de orden n:
    \( G = (g) = \{ 0, g, 2g, ··· , (n-1)g \} = \{ ng / n \in Z \} \)
En estas condiciones todo subgrupo de G es cíclico y está engendrado por un elemento de la forma kg siendo k un divisor del orden de g lo que implica que el orden del subgrupo engendrado sea (n : k). Podemos decir entonces que todo subgrupo S de G tendrá la forma:
    \( S = \{ 0, kg, 2kg, ··· , (m-1)kg \} \qquad \)
donde m es el orden de S

Vamos a ver entonces que todo subgrupo de G es de esa forma y que su orden vale n/k: Sea k el menor entero positivo tal que \( kg \in S \) , entonces, para, todo elemento \(x = pg \in S \) podernos poner:
    \(\begin{array}{l} x = p · g \qquad (p = k · q + r \; , \; 0 \leq r < k) \\ \\ x = p · g = (k · q + r)g = (k · g)q + r · g \Rightarrow r · g \in S \Rightarrow r = 0 \end{array} \)
y, por tanto, kg genera S.

Además n valdrá: \( n = kq' + r' , \textrm{donde } 0 \leq r'< k \) y podemos poner:
    \( n · g = (k · q' + r')g = (k · g)q' + r' · g \Rightarrow r' · g \in S \Rightarrow r' = 0 \)
lo que implica que k divide a n o lo que es igual que el orden de S es m = n/k

Teorema.- El subgrupo (kg) engendrado por un elemento cualquiera kg coincide con el subgrupo (dg) donde d es el m.c.d. de k y n.

Demostración.-
    \(\begin{array}{l} d = m.c.d. (k, n) \Rightarrow k = d' · d \Rightarrow k · g = d' (d · g) \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow k · g \in (d · g) \Rightarrow (k · g) \subset (d · g) \\ \\ d = m.c.d. (k, n) \Rightarrow \exists \quad n_1, n_2 \in Z \; / \; d = n_1 · n + n_2 · k \end{array} \)
(como ejemplo para comprender esto supongamos los números 24 y 18 cuyo m.c.m. es 6, podemos poner entonces: \( 6 = n_1·24 + n_2·18 \); en este caso es \( n_1 = - 2 \; y \; n_2 = 3 \) los menores números que cumplen esta condición)

Continuando con la segunda parte de esta demostración tenemos:
    \(\begin{array}{l} d · g = (n_1 n + n_2 k)g = n_1(n g) + n_2(k g) = n_2(k g) \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow d · g \in (k · g) \Rightarrow (d · g) \subset (k · g) \end{array} \)
de ahi podemos decir, por la propiedad antisimétrica de la inclusión: (dg) = (kg)

Corolario 1.- Se deduce immediatamente que si (kg) y (dg) coinciden, el orden del sub grupo (kg) valdrá
    \(\displaystyle m = \frac{n}{m.c.d.(k, n)} = n/d \)
Corolario 2.- Un elemento cualquiera x = k.g , perteneciente a G, genera al grupo si y solo si el m.c.d.(k, n) vale 1, ó lo que es igual que k y n sean primos entre si.
    \(\displaystyle \begin{array}{l} (x) = (kg) = G \Rightarrow \textrm{ orden de } (kg) = n = \frac{n}{m.c.d.(n, k)} \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow m.c.d. (n, k) = 1 \end{array}\)
Monografía en trece capítulos, primer capítulo: Grupos Abelianos. Capítulo siguiente El grupo simétrico
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tema escrito por: José Antonio Hervás