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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
TEORÍA DE GRUPOS

GRUPOS ABELIANOS - GRUPOS FINITOS

 

GRUPOS FINITOS - GRUPOS CÍCLICOS


Se dice que un grupo es finito si posee un número finito de elementos, que llamaremos orden del grupo.Por ejemplo, el conjunto de los enteros módulo n , \(z_n = \{\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, ··· , \overline{n-1}\} \) es un grupo finito de orden n. Hemos visto anteriormente que el conjunto
    \( [A] = \{n_ia_i / n_i \in Z \; , \; a_i \in A \; ; \; I \textrm{ finito } \}\)
Es un grupo.

De la misma forma se demuestra que el conjunto S de elementos de la forma:
    \(\{n · g \; / \; n \in Z ^+ , g \in G\} \)
es un subgrupo de G.

Definición: Grupo cíclico.- Cuando se tiene S = G se dice que G es un grupo cíclico engendrado por g. Se llama grupo cíclico a todo grupo que posee un elemento que lo genera. Si para un elemento \( g \in G \) distinto de e se tiene:
    \( M = \{n · g \; / \; n \in Z ^+ \} \; y \; M \neq G \)
entonces M es un subgrupo de G engendrado por g.

Puede ocurrir que todas las potencias de g sean distintas \( (n_1g = n_2g \Rightarrow n_1 = n_2) \) , esto significa que el orden de g es infinito y el subgrupo engendrado por él es cíclico infinito o rnonógeno.

Si tenemos \(n_1 \neq n_2 \) y se cumple: \(n_1 g = n_2 g \) Podemos poner \( n_1 g - n_2 g = (n_1 - n_2)g = 0 \) con lo que existe un entero positivo \(n = n_1 - n_2 \) tal que: \( n · g = 0 \).

Si existe un entero positivo p tal que \( p· g = 0 \) , se dice que p es el orden del elemento g.

Sea S un grupo finito cíclico de generador g, si el orden de g es n, entonces:
    \( S = \{0, g, 2g, ···, (n-1)g \} \)
Si \(x \in S\) , se ha de cumplir:
    \( \exists \quad p \in Z \; / \; x = p · g \)
y el algoritmo de la división nos permite hacer \(p = nq + r (0 \leq r \leq n)\) y tenemos:
    \( x = p · g = (n · q + r)g = (n· q)g + r · g = (n · g)q + r · g = r · g \)
de donde resulta que \(x = r · g \in \{0, g, 2g, ···, (n-1)g\} \) puesto que \( 0 \leq r \leq n \)

Si n es el orden de g, y p.g = 0, entonces n divide a p, es decir n/p puesto que, según lo anterior tenernos:
    \( 0 = p · g = (n · q + r)g = r · g = 0 \)
pero, por ser n el orden de g y \(r \leq n \) , tiene que ser r = 0 de donde resulta que p = nq o lo que es igual n/p

Si G es un grupo finito y \(g \in G \) , el orden de g es menor o igual que el orden de G. Será igual cuando g sea generador de G.

Un grupo cíclico finito de orden n cualquiera G = {0, g, 2g, ... , (n-1)g} se puede hacer corresponder en aplicación biyectiva al grupo \(Z_n \).

Sea, la aplicación:
    \( f \quad : \quad z_n \rightarrow G \)

    \( \qquad \qquad f(\bar{r}) = r · g\)
se tiene:
    \(f\left(\overline{r_1 + r_2}\right) = \left(r_1 + r_2\right) = r_1 · g + r_2 · g = f\left(\overline{r_1}\right) + f\left(\overline{r_2}\right)\)
y además:
    \( r_1 · g = r_2 · g \rightarrow (r_1 - r_2)g = 0 \rightarrow r_1 - r_2 = 0 \rightarrow r_1 = r_2 \)
Por lo tanto, todo grupo finito de orden n es isomorfo a \(Z_n \) y las propiedades de \(Z_n \) se pueden aplicar a todos los grupos de orden n.

De igual forma, cualquier grupo monógeno es isomorfo a Z y todas las propiedades de - estos grupos se pueden estudiar en Z.

Tenemos según eso dos formas canónicas para los grupos cíclicos; Z para los grupos in finitos y \(Z_n \) para, los grupos finitos.
Monografía en trece capítulos, primer capítulo: Grupos Abelianos. Capítulo siguiente Subgrupos cíclicos
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tema escrito por: José Antonio Hervás